BZOJ5296 CQOI2018Day1T1 破解D-H协议


Description

Diffie-Hellman密钥交换协议是一种简单有效的密钥交换方法。它可以让通讯双方在没有事先约定密钥(密码)的情况下

通过不安全的信道(可能被窃听)建立一个安全的密钥K,用于加密之后的通讯内容。

假定通讯双方名为Alice和Bob,协议的工作过程描述如下(其中mod表示取模运算):

1.协议规定一个固定的质数P,以及模P的一个原根g。P和g的数值都是公开的,无需保密。

2.Alice生成一个随机数a,并计算A=g^a mod P,将A通过不安全信道发送给Bob。

3.Bob生成一个随机数b,并计算B=g^b mod P,将B通过不安全信道发送给Alice。

4.Bob根据收到的A计算出K=A^b mod P,而Alice根据收到的B计算出K=B^a mod P。

5.双方得到了相同的K,即g^(a*b) mod P。K可以用于之后通讯的加密密钥。

可见,这个过程中可能被窃听的只有A、B,而a、b、K是保密的。并且根据A、B、P、g这4个数,不能轻易计算出

K,因此K可以作为一个安全的密钥。

当然安全是相对的,该协议的安全性取决于数值的大小,通常a、b、P都选取数百位以上的大整数以避免被破解。然而如

果Alice和Bob编程时偷懒,为了避免实现大数运算,选择的数值都小于2^31,那么破解他们的密钥就比较容易了。

Input

输入文件第一行包含两个空格分开的正整数g和P。

第二行为一个正整数n,表示Alice和Bob共进行了n次连接(即运行了n次协议)。

接下来n行,每行包含两个空格分开的正整数A和B,表示某次连接中,被窃听的A、B数值。

2≤A,B< P<231,2≤g<20, n<=20

Output

输出包含n行,每行1个正整数K,为每次连接你破解得到的密钥。

Sample Input

3 31

3

27 16

21 3

9 26

Sample Output

4

21

25


看到的时候蒙圈了。。打了一个三十分暴力。。然后GG了

后来大佬们讲了BSGS,发现这是个模板题

BSGS可以快速求解Ax=B(mod C)(C为质数)" role="presentation">Ax=B(mod C)(C为质数)Ax=B(mod C)(C为质数)这样的同余方程

把系数x换成am+b的形式,然后可以通过

* 预处理1到根号次数的哈希值

* 查表

算出答案


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10000010
#define LL long long
#define mp make_pair
const LL up=50000;
const LL Base=10000007;
LL g,p,n,A,B;
vector<pair<LL,LL> >hash[N];
LL fast_pow(LL a,LL b){
int ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=(ans*a)%p;
b>>=1;
a=(a*a)%p;
}
return ans;
}
void Hash(){
LL h=fast_pow(g,up),pic=h;
for(LL i=1;(i-1)*up<=INT_MAX;i++,h=(h*pic)%p)
hash[h%Base].push_back(mp(i,h));
}
LL solve(LL x){
LL h=g;
for(int i=1;i<=up;i++,h=(h*g)%p){
LL tmp=(h*x)%p;
for(int j=0;j<hash[tmp%Base].size();j++){
LL cas=hash[tmp%Base][j].second;
if(cas==tmp){
cas=hash[tmp%Base][j].first;
return cas*up-i;
}
}
}
}
int main(){
scanf("%lld%lld%lld",&g,&p,&n);
Hash();
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld%lld",&A,&B);
printf("%lld\n",fast_pow(B,solve(A)));
}
return 0;
}

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