题目描述

Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。

一个合法的网络流方案必须满足：

(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；

(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。

最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是唯一的。

对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。

总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。

输入输出格式

输入格式：

第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。

接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。

输出格式：

第一行一个整数，表示最大流的值。第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

10

10.0000

说明

【样例说明】

对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。

对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用为：10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。

【数据规模和约定】

对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。

对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。

对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。

题解：

这是一个假的费用流，不要被名字骗啦，其实这是一个最大流的题目，思考一下，想要获得最大值，我们只需要让全部的P在最长的边上就可以了（仔细想想，我有最长边一定是最长边上*p），但是到达最大流我们可能经过多个途径，我们需要做的是找到一条路

，使其中最长的边最短，这就需要二分了，我们二分最长的那个边，使其最短。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

const int inf=0x3f3f3f3f;

const int MAXN=1000+10;

int n,m,p;//点数、边数

int sp,tp;//原点、汇点

struct node

{

    int v,next;

    double cap;

}mp[MAXN*10];

int pre[MAXN],dis[MAXN],cur[MAXN];//cur为当前弧优化，dis存储分层图中每个点的层数（即到原点的最短距离），pre建邻接表

int cnt=0;

double ans=0;

struct {

    int x,y;

    double z;

}edge[MAXN];

void init()//不要忘记初始化

{

    cnt=0;

    memset(pre,-1,sizeof(pre));

}

void add(int u,int v,double w)//加边

{

    mp[cnt].v=v;

    mp[cnt].cap=w;

    mp[cnt].next=pre[u];

    pre[u]=cnt++;

    mp[cnt].v=u;

    mp[cnt].cap=0;

    mp[cnt].next=pre[v];

    pre[v]=cnt++;

}

bool bfs()//建分层图

{

    memset(dis,-1,sizeof(dis));

    queue<int>q;

    while(!q.empty())

        q.pop();

    q.push(sp);

    dis[sp]=0;

    int u,v;

    while(!q.empty())

    {

        u=q.front();

        q.pop();

        for(int i=pre[u];i!=-1;i=mp[i].next)

        {

            v=mp[i].v;

            if(dis[v]==-1&&mp[i].cap>0)

            {

                dis[v]=dis[u]+1;

                q.push(v);

                if(v==tp)

                    break;

            }

        }

    }

    return dis[tp]!=-1;

}

double dfs(int u,double cap)//寻找增广路

{

    if(u==tp||cap==0)

        return cap;

    double res=0,f;

    for(int &i=cur[u];i!=-1;i=mp[i].next)

    {

        int v=mp[i].v;

        if(dis[v]==dis[u]+1&&(f=dfs(v,min(cap-res,mp[i].cap)))>0)

        {

            mp[i].cap-=f;

            mp[i^1].cap+=f;

            res+=f;

            if(res==cap)

                return cap;

        }

    }

    if(res==0)

        dis[u]=-1;

    return res;

}

double dinic()

{

    double ans=0;

    while(bfs())

    {

        for(int i=0;i<=tp;i++)

            cur[i]=pre[i];

        ans+=dfs(sp,inf);

    }

    return ans;

}

bool check(double x)

{

    init();

    for (int i = 0; i <m ; ++i) {

        add(edge[i].x,edge[i].y,min(edge[i].z,x));

    }

    sp=1,tp=n;

    double sum=dinic();

    return sum==ans;

}

int main()

{

    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);

    init();

    double MAX=0;

    for (int i = 0; i <m ; ++i) {

        scanf("%d%d%lf",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].z);

        add(edge[i].x,edge[i].y,edge[i].z);

        MAX=max(MAX,edge[i].z);

    }

    sp=1;tp=n;

     ans=dinic();

    printf("%.0lf\n",ans);

    double l=0,r=500001,mid;

    while (r-l>(1e-7))

    {

        mid=(l+r)/2;

        if(check(mid))

        {

            r=mid;

        } else

        {

            l=mid;

        }

    }

    printf("%lf\n",mid*p);

    return 0;

}

P3305 [SDOI2013]费用流