线性代数：Ax=b的解

n列的矩阵A，当且仅当向量b是列空间C(A)的一个向量时，Ax=b有解。

C(A)的零空间是N(A)，N(A)正交补是A的行空间C(T(A))，

依据上一章的结论，任何Rn向量可以表示为r+n,其中n属于N(A)，r属于C(T(A))。

因此，任何一个Ax=b的解可以表示为 x=r+n

A(r+n) = Ar+An = Ar = b，可见r也是Ax=b的解。那么A的行空间里面是否有多个解。

假设存在r'使得Ar'=b, 那么有 A(r-r') = 0， r-r' 是N(A)的成员，由于r-r'又是C(T(A))的成员，有r-r'为零向量。

因此，A的行空间中有且有一个向量是Ax=b的解。

结合上面两个结论，Ax=b的解x=r+n,其中r是一个行空间中的一个向量，n是零空间的任意成员。

考虑解x的长度，||x||平方 = (r+n).(r+n) = r.r+n.n， Ax=b的解里面长度最短的向量就是r。

再具体求解方程的时候，得出的Ax=b的解的形式 x = v+ (t1.n1+t2.n2+..), 其中v是一个特解，n1,n2..是A零空间的一组基，t1,t2...是变参。

依据上面的结论  v = r+n，n=(v-r)；r是行空间的向量，n是零空间的向量；求解r仍然是个困难。