视觉SLAM之词袋（bag of words） 模型与K-means聚类算法浅析（2）

聚类概念：

聚类：简单地说就是把相似的东西分到一组。同 Classification (分类)不同，分类应属于监督学习。而在聚类的时候，我们并不关心某一类是什么，我们需要实现的目标只是把相似的东西聚到一起，因此，一个聚类算法通常只需要知道如何计算相似 度就可以开始工作了。聚类不需要使用训练数据进行学习，应属于无监督学习。

我们经常接触到的聚类分析，一般都是数值聚类，一种常见的做法是同时提取 N 种特征，将它们放在一起组成一个 N 维向量，从而得到一个从原始数据集合到 N 维向量空间的映射，然后基于某种规则进行分类，在该规则下，同组分类具有最大的相似性。

需要解决的问题：

K-Means算法主要解决的问题如下图所示。我们可以看到，在图的左边有一些点，我们用肉眼可以看出来有四个点群，但是我们怎么通过计算机程序找出这几个点群来呢？

算法概要：

A，B，C，D，E是五个在图中点。而灰色的点是我们的种子点，也就是我们用来找点群的点。有两个种子点，所以K=2

上图K-Means的算法描述：

1.随机在图中取K（这里K=2）个种子点。

2.然后对图中的所有点求到这K个种子点的距离，假如点Pi离种子点Si最近，那么Pi属于Si点群。（上图中，我们可以看到A，B属于上面的种子点，C，D，E属于下面中部的种子点）

3.接下来，我们要移动种子点到属于他的“点群”的中心。（见图上的第三步）

4.然后重复第2）和第3）步，直到种子点没有移动（我们可以看到图中的第四步上面的种子点聚合了A，B，C，下面的种子点聚合了D，E）。

K-Means聚类算法主要分为三个步骤：

(1)第一步是为待聚类的点寻找聚类中心

(2)第二步是计算每个点到聚类中心的距离，将每个点聚类到离该点最近的聚类中去

(3)第三步是计算每个聚类中所有点的坐标平均值，并将这个平均值作为新的聚类中心,反复执行(2)、(3)，直到聚类中心不再进行大范围移动或者聚类次数达到要求为止。

求点群中心的公式：

假设我们提取到原始数据的集合为，并且每个xi为d维的向量，K-means聚类的目的就是，在给定分类组数k（k ≤ n）值的条件下，将原始数据分成k类 S = ，在数值模型上，即对以下表达式求最小值：

这里表示分类的平均值。

注：arg表示使目标函数取最小值时的变量值

设我们一共有 N 个数据点需要分为 K 个 cluster ，k-means 要做的就是最小化

其中  rnk在  在数据点 n 被归类到 cluster k 的时候为 1 ，否则为 0 。直接寻找  rnk  和 uk  最小化 j 并不容易，不过我们可以采取迭代的办法：先固定 uk，选择最优的 rnk，很容易看出，只要将数据点归类到离他最近的那个中心就能保证 j  最小。下一步则固定 rnk ，再求最优的 uk 。将j 对 uk 求导并令导数等于零，很容易得到 j 最小的时候uk 应该满足：

亦即 uk的值应当是所有 cluster k 中的数据点的平均值。

首先 3 个中心点被随机初始化，所有的数据点都还没有进行聚类，默认全部都标记为红色，如下图所示：

然后进入第一次迭代：按照初始的中心点位置为每个数据点着上颜色，重新计算 3 个中心点，结果如下图所示：

可以看到，由于初始的中心点是随机选的，这样得出来的结果并不是很好，接下来是下一次迭代的结果：

可以看到大致形状已经出来了。再经过两次迭代之后，基本上就收敛了，最终结果如下：

不过正如前面所说的那样 k-means 也并不是万能的，虽然许多时候都能收敛到一个比较好的结果，但是也有运气不好的时候会收敛到一个让人不满意的局部最优解，例如选用下面这几个初始中心点：

最终会收敛到这样的结果：