N皇后的位运算有感

N皇后很明显是一个NP—Hard问题，如果n足够大的话，在有限较短的时间内是很难得出答案的，但是注意到N皇后（笔者认为这类问题称为棋盘问题更为贴切），在n*n棋盘之上，每个点有且只有两种状态，这与电脑自身的进制非常类似，因此很自然的想到状态压缩，通过二进制码来表示原先通过数组来表示的皇后状态，也就是我们从原先的二维问题转换为一维问题

这边补充一些前置知识：

神奇的位运算：

kk & (kk-1) : 可以将kk的二进制码的最右边的1去掉

eg: 10010 & (10010-1) = 10010 & 10001 = 10000

kk & -kk : 可以将kk最左边的1提取出来

eg: 10010 & -10010 = 10010 & 01110 = 00010

这边熟悉补码的读者应该非常熟悉在计算机中，负数的补码的第二种算法是从右往左直到第一个1为止都与原码相通后面的则与原码相反

即100 10的补码是011 10，所以这个位运算可以通过这个定义方式来帮助理解

~kk : 可以将kk的值反转

eg: ~10010 = 01101

那么这样子我们就可以通过vis，L，R这三个二进制码来分别表示，列，副对角线，主对角线的情况，笔者会在下面逐渐讲出

熟悉N皇后的读者应该直到，N皇后其实可以从原先的n*n的子序列，降级为1-n的列排序，因此行在这边仅作为终止标志

vis是记录列的皇后情况我们使用1表示有皇后，即1001表示第一列和第四列有皇后

L和R的实现方法类似，因此不失一般性的，笔者就之讲解L的代表含义

L表示的是副对角线的情况，这边可以这样考虑如果是1，那么该列就在前面皇后的副对角线上

这边我们考虑当前层是cur层，我们已经确定insert=00010是合法的皇后位置，此时L=01010

那么此时我们要如此操作：

L = insert | L; 这边表示的含义是将当前层合法的皇后位置加入L中

L = L << 1; 想一想，在cur+1层，L的影响是不是上一层L的影响总体都往左移动一位

注意下面0表示空，1表示皇后，2表示皇后的副对角线影响位置

cur :02010 （此时L=01010）

cur+1:20200 （此时L=10100）

最后就是对前面神奇的位运算的收尾了：

很明显vis|L|R中含有1的位置都是非法的皇后位置，即此时合法填充的皇后位置该处应为0

我们不妨用valid来表示当前皇后可以放置的位置

那么很自然的想到valid = ~(vis|L|R)

其实就是不可以的补集就是可行集

当然仅仅是这样仍然是不行的，因为我们使用的整数类型未必都是n位，因此前面会多出许多1，所以我们还需要base = (1<<n) - 1;来维护n位的问题

所以valid = base & ！(vis|L|R)

那么接下来通过老朋友dfs的组装就可以见到全新版本的位运算n皇后，只能说位运算真的很神奇

点击查看笔者代码

void dfs(int cur, int vis, int L, int R) {
  if(cur == n) { cnt++; return; }
  int temp = base&~(vis | L | R);
  while(temp) {
  	int insert = temp & -temp;
  	temp = temp ^ insert;//这行等价于temp = temp & (temp-1)，想想为什么
  	dfs(cur+1, vis|insert, (L | insert) << 1, (R | insert) >> 1);
  }
}