莫队-小Z的袜子

----普通莫队

首先
清楚概率怎么求
假设我们要求从区间l到r中拿出一对袜子的概率
sum[i]为第i种袜子在l到r中的数量

$$\frac{\sum_{i=l}^{r} {[sum[i] \times (sum[i]-1)]}}{ (r-l+1) \times {(r-l)}}\qquad$$

转化一下可以得到

$$\frac{\sum_{i=l}^{r} {sum[i]^{2}}-(r-l+1)}{ (r-l+1)\times {(r-l)}}\qquad$$

普通莫队是一种离线算法 并且充分利用上一个得到的答案来求得当前询问的答案

怎么由上一个答案来得到当前的答案呢？
设

$$ans=\sum_{i=l}^{r} {sum[i]^{2}}$$

即分母的一部分（减去（r-l+1）即可得到分母）

现在要求[l+1,r]这个区间的答案
若第l只袜子的编号为x 则只有sum[x]减少了1
更新ans的操作如下：
ans-=sum[x]*sum[x];
sum[x]-=1;
ans+=sum[x]*sum[x]
即：减去从前对答案的贡献 加上现在的贡献
求[l-1,r],[l,r-1],[l,r+1]的做法类比可得
整理一下可以得到change函数

//x为新增加或减少的点
//若为新增加的点 如l指针左移和r指针右移 则w=1
//反之 w=-1
/*例子：求[l-1,r] change(l,-1)
       求[l,r+1] change(r+1,1) ……*/
change(int x,int w)
{
    ans-=sum[x]*sum[x];sum[x]+=w;ans+=sum[x]*sum[x];
}

 

为了使l和r指针尽可能少的移动（优化时间）
我们需要给所有的问题的l和r排序

构造cmp函数
要用分块

将整个长度为n的序列分为sqrt(n)块
cmp为：若l与r在同一块中 则按照l从小到大排序
      否则 按照r从小到大排序
这样l指针每次最多跳2*(n/sqrt(n))次
最后求gcd 即可
还要记得l==r的特判

一种优秀的gcd求法

//普通gcd
int gcd(int x,int y)
{
  return y==0?x:gcd(y,x%y);
}

其实可以看成是把x赋值为x%y 再调换x,y的位置 求gcd（x,y）
假设我们要调换a,b的值

//普通做法：
int tmp;tmp=a;a=b;b=tmp;

//其实可以利用位运算  异或
x^=y;y^=x;x^=y;

/*  第一步：x=x^y
    第二步：y=y^(x^y) 由于y^y=0 所以 y=x
    第三步：x=(x^y)^x 同理可得 x=y
*/

可以得到gcd函数

ll gcd(ll a,ll b)
{
  while(b^=a^=b^=a%=b);return a;
}
//从右至左运算

分析over

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define yes(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
#define M 50010
using namespace std;
int n,m,tot,len;
ll ans,f_ans[M][2],sum[M];
int c[M],be[M];
struct node {int l,r,id;} q[M];
bool cmp(node x,node y)
{
  if(be[x.l]==be[y.l]) return x.r<y.r;
  return x.l<y.l;
}
void change(int x,int w)
{
  ans-=(ll)(sum[c[x]]*sum[c[x]]);sum[c[x]]+=w;ans+=(ll)(sum[c[x]]*sum[c[x]]);
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
  while(b^=a^=b^=a%=b);return a;
}
int main()
{
  //freopen("1.in","r",stdin);
  //freopen("1.out","w",stdout);
  scanf("%d%d",&n,&m);
  len=sqrt(n);
  yes(i,1,n) scanf("%d",&c[i]),be[i]=i/len+1;
  yes(i,1,m) scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
  sort(q+1,q+m+1,cmp);
  int l=1,r=0;
  yes(i,1,m)
    {
      while(l<q[i].l) change(l,-1),l++;
      while(l>q[i].l) change(l-1,1),l--;
      while(r<q[i].r) change(r+1,1),r++;
      while(r>q[i].r) change(r,-1),r--;
      ll ans1,ans2;
      ans1=ans-(ll)(q[i].r-q[i].l+1);ans2=(ll)(q[i].r-q[i].l+1)*(q[i].r-q[i].l);
      if(ans1==0) ans2=1;
      else
    {
      ll g=gcd(ans2,ans1);
      ans1/=g;ans2/=g;
    }
      f_ans[q[i].id][0]=ans1;f_ans[q[i].id][1]=ans2;
    }
  yes(i,1,m) printf("%lld/%lld\n",f_ans[i][0],f_ans[i][1]);
  return 0;
}