【左偏树】【P3261】 [JLOI2015]城池攻占

Description

小铭铭最近获得了一副新的桌游，游戏中需要用 m 个骑士攻占 n 个城池。这 n 个城池用 1 到 n 的整数表示。除 1 号城池外，城池 i 会受到另一座城池 fi 的管辖，其中 fi <i。也就是说，所有城池构成了一棵有根树。这 m 个骑士用 1 到 m 的整数表示，其中第 i 个骑士的初始战斗力为 si，第一个攻击的城池为 ci。

每个城池有一个防御值 hi，如果一个骑士的战斗力大于等于城池的生命值，那么骑士就可以占领这座城池；否则占领失败，骑士将在这座城池牺牲。占领一个城池以后，骑士的战斗力将发生变化，然后继续攻击管辖这座城池的城池，直到占领 1 号城池，或牺牲为止。

除 1 号城池外，每个城池 i 会给出一个战斗力变化参数 ai;vi。若 ai =0，攻占城池 i 以后骑士战斗力会增加 vi；若 ai =1，攻占城池 i 以后，战斗力会乘以 vi。注意每个骑士是单独计算的。也就是说一个骑士攻击一座城池，不管结果如何，均不会影响其他骑士攻击这座城池的结果。如果 \(a_i~=~1\)，保证 \(v_i~>~0\)

现在的问题是，对于每个城池，输出有多少个骑士在这里牺牲；对于每个骑士，输出他攻占的城池数量。

Limitation

\(1~\leq~n,~m~\leq~3~\times~10^5\)

Solution

最近沉迷颓废学习很久没写博客了啊QAQ

考虑由于若在一个位置的战斗力是乘法则只会乘正整数，当同一个节点的骑士向上攻占的时候，他们相互之间战斗力的大小关系是不变的。如果我们维护每个节点上还剩下了多少骑士，那么每到一个节点所有小于某个值的元素都要被删除，这提示我们使用堆来维护。由于需要支持信息的合并，我们考虑使用左偏树来完成。

考虑到达一个节点以后会给节点里所有的元素做一次修改，但是这个修改是不影响堆的结构的，于是可以在堆的根节点上打标记，不断下方即可。

Code

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define freopen(a, b, c)
#endif

typedef long long ll;

namespace IPT {
	const int L = 1000000;
	char buf[L], *front=buf, *end=buf;
	char GetChar() {
		if (front == end) {
			end = buf + fread(front = buf, 1, L, stdin);
			if (front == end) return -1;
		}
		return *(front++);
	}
}

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
	char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
	while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch=IPT::GetChar();
	while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
	if (lst == '-') x = -x;
}

namespace OPT {
	char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x, const char aft, const bool pt) {
	if (x < 0) {x = -x, putchar('-');}
	int top=0;
	do {OPT::buf[++top] = static_cast<char>(x % 10 + '0');} while (x /= 10);
	while (top) putchar(OPT::buf[top--]);
	if (pt) putchar(aft);
}

const int maxn = 300010;

struct Kni {
	ll s;
	int c, ans;
};
Kni kt[maxn];

struct Tree {
  Kni* v;
  ll addv, addm, dist;
  Tree *ls, *rs;

  Tree(Kni *_v = NULL) {
    ls = rs = NULL;
    dist = addv = 0; addm = 1;
    v = _v;
  }

  inline void addtag(ll x) {
    this->addv += x;
    this->v->s += x;
  }

  inline void multag(ll x) {
    this->addm *= x;
    this->addv *= x;
    this->v->s *= x;
  }

  inline void pd(ll x, ll y) {
    this->multag(y); this->addtag(x);
  }

  inline void pushdown() {
    if (this->ls) this->ls->pd(this->addv, this->addm);
    if (this->rs) this->rs->pd(this->addv, this->addm);
    this->addv = 0; this->addm = 1;
  }

  inline void pushup() {
    this->dist = (this->rs ? this->rs->dist : 0) + 1;
  }
};
Tree *tree[maxn];

int n, m;
int fa[maxn], depth[maxn], died[maxn];
ll MU[maxn], a[maxn], v[maxn];
std::vector<int>son[maxn], kts[maxn];

void dfs(int);
Tree *merge(Tree*, Tree*);

int main() {
  freopen("1.in", "r", stdin);
  qr(n); qr(m);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) qr(MU[i]);
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    qr(fa[i]); son[fa[i]].push_back(i); qr(a[i]); qr(v[i]);
  }
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    qr(kt[i].s); qr(kt[i].c); kt[i].ans = -1;
    kts[kt[i].c].push_back(i);
  }
  dfs(1);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) qw(died[i], '\n', true);
  for (int i = 1; i <= m; ++i) qw(~kt[i].ans ? kt[i].ans : depth[kt[i].c], '\n', true);
  return 0;
}

Tree *merge(Tree *u, Tree *v) {
  if (!u) return v;
  if (!v) return u;
  u->pushdown(); v->pushdown();
  if (u->v->s > v->v->s) std::swap(u, v);
  u->rs = merge(u->rs, v);
  if ((u->rs) && ((!u->ls) || (u->rs->dist > u->ls->dist))) std::swap(u->ls, u->rs);
  u->pushup();
  return u;
}

void dfs(int u) {
  depth[u] = depth[fa[u]] + 1;
  for (auto to : son[u]) {
    dfs(to);
    while (tree[to] && (tree[to]->v->s < MU[u])) {
      ++died[u];
      tree[to]->v->ans = depth[tree[to]->v->c] - depth[u];
      tree[to]->pushdown();
      tree[to] = merge(tree[to]->ls, tree[to]->rs);
    }
    tree[u] = merge(tree[u], tree[to]);
  }
  for (auto i : kts[u]) {
    if (kt[i].s >= MU[u]) tree[u] = merge(tree[u], new Tree(&kt[i]));
    else {
      ++died[u];
      kt[i].ans = 0;
    }
  }
  if (!tree[u]) return;
  if (a[u]) tree[u]->multag(v[u]);
  else tree[u]->addtag(v[u]);
}

Summary

只要信息修改后不影响堆的形态，可以在左偏树上打标记来完成修改。