MT【139】公比为有理数

已知正整数\(a_1,a_2,\cdots ,a_{2016}\)成等比数列，公比\(q\in (1,2)\)，则\(a_{2016}\) 取最小值时，\(q=\)______

解答:
显然\(q\)为有理数，令\(q=\dfrac{m}{n},m\in N^+,n\in N^+,(m,n)=1\)
设数列\(a_1,a_2,\cdots ,a_{2016}\)为\[n^{2015}a,n^{2014}ma,\cdots ,m^{2015}a,\]
由于\(q\in(1,2)\)得\(n<m<2n\)，故易知当\(a_{2016}\)最小时，\(m=3\)，\(n=2\)，\(a=1\)，于是\(q=\dfrac 32\)．

评:有理数这个条件上面这样的处理方式是常用的.