Bzoj1313 [HAOI2008]下落的圆盘

有 n 个圆盘从天而降，后面落下的可以盖住前面的。最后按掉下的顺序,在平面上依次测得每个圆盘的圆心和半径,问下落完成后从上往下看,整个图形的周长是多少,即你可以看到的圆盘的轮廓的圆盘的轮廓总长.例如下图的黑色线条的总长度即为所求。

【输入格式】

第一行为1个整数n

接下来n行每行3个实数,ri,xi,yi,表示下落时第i个圆盘的半径和圆心坐标.

【输出格式】

仅一个实数，表示所求的总周长,答案保留3位小数.

【样例输入】

2
1 0 0
1 1 0

【样例输出】

10.472

【提示】

30%的数据,n<=10

100%的数据,n<=1000

数学问题 计算几何

用余弦定理和三角函数可以计算出两圆相交部分的弧长。

对于每个圆，计算它和在它之后落下的所有圆的角。记录相交部分的弧对应的圆心角范围。将“圆心角”区间离散到0~2pi的数轴上，做线段覆盖。

知道了未被覆盖的角总共有多大，就能算出该圆未被覆盖的弧有多长。

注意如果求出的覆盖部分圆心角范围超出了0~2pi，要变换到0~2pi范围内

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<vector>
 using namespace std;
 const double pi=acos(-1.0);
 const double eps=1e-;
 const int mxn=;
 struct point{
     double x,y;
     point operator + (point b){return (point){x+b.x,y+b.y};}
     point operator - (point b){return (point){x-b.x,y-b.y};}
     double operator * (point b){return x*b.x+y*b.y;}
 };
 inline double Cross(point a,point b){
     return a.x*b.y-a.y*b.x;
 }
 inline double dist(point a,point b){
     return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
 }
 inline double Len(point a){return sqrt(a*a);}
 struct cir{
     double x,y;
     double r;
     point operator + (cir b){return (point){x+b.x,y+b.y};}
     point operator - (cir b){return (point){x-b.x,y-b.y};}
 }c[mxn];
 inline bool cover(cir a,cir b){
     return (a.r>=b.r+Len(a-b));
 }
 struct line{
     double l,r;
     bool operator < (line b)const{
         return (l<b.l)|| (l==b.l && r<b.r);
     }
 };
 line CX(cir a,cir b){
     double dis=Len(b-a);
     double angle=acos((a.r*a.r+dis*dis-b.r*b.r)/(*a.r*dis));
     double deg=atan2(a.x-b.x,a.y-b.y);//统一旋转pi角度,保证在-2pi~2pi范围内
     return (line){deg-angle,deg+angle};
 /*    double t=(a.r*a.r+dis*dis-b.r*b.r)/(2*dis);
     double st=atan2(a.x-b.x,a.y-b.y);
     double l=acos(t/a.r);
     return (line){st-l,st+l};*/
 }
 vector<line>ve;
 int n;
 double ans=;
 void calc(int x){
     for(int i=x+;i<=n;i++){if(cover(c[i],c[x]))return;}//被完全覆盖
     ve.clear();
     for(int i=x+;i<=n;i++){
         if(cover(c[x],c[i]))continue;//完全覆盖
         line tmp;
         if(c[x].r+c[i].r>Len(c[i]-c[x])) tmp=CX(c[x],c[i]);
         else continue;
         if(tmp.l<) tmp.l+=*pi;
         if(tmp.r<) tmp.r+=*pi;
         if(tmp.l>tmp.r){//拆分
             ve.push_back((line){,tmp.r});
             ve.push_back((line){tmp.l,*pi});
         }
         else ve.push_back(tmp);
     }
     sort(ve.begin(),ve.end());
 //    printf("mid\n");
     double now=,ran=;
     for(int i=;i<ve.size();i++){//线段覆盖
         line tmp=ve[i];
 //        printf("i:%d %.3f %.3f\n",i,tmp.l,tmp.r);
         if(tmp.l>now){ran+=tmp.l-now;now=tmp.r;}
         else now=max(now,tmp.r);
     }
     ran+=*pi-now;
     ans+=c[x].r*ran;//累加半径
     return;
 }
 int main(){
     freopen("disc.in","r",stdin);
     freopen("disc.out","w",stdout);
     int i,j;
     scanf("%d",&n);
     for(i=;i<=n;i++){
         scanf("%lf%lf%lf",&c[i].r,&c[i].x,&c[i].y);
     }
     for(i=n;i>=;i--){
         calc(i);
 //        printf("ans:%.3f\n",ans);
     }
     printf("%.3f\n",ans);
     return ;
 }