HDU1423：Greatest Common Increasing Subsequence

浅谈\(DP\)：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/10437525.html

题目传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1423

最长上升子序列：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/10437536.html

最长公共子序列：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/10437542.html

由于此题求的是最长公共上升子序列，所以我们需要在最长公共子序列的\(n^2dp\)状态再加一个关于权值的维度。

设\(f[i][j][k]\)表示\(a\)的\([1,i]\)与\(b\)的\([1,j]\)的以权值\(k\)结束的最长公共上升子序列是多少。

若\(a[i]!=b[j]\)，\(f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],f[i][j-1][k])\)

若\(a[i]==b[j]\)，\(f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],f[i][j-1][k],f[i-1][j-1][x]+1)(0\leqslant x<k)\)

时间复杂度：\(O(n^3)\)

空间复杂度：\(O(n^3)\)

但是出题人似乎并不会给一个\(G\)让我们这样搞，所以这种做法因为空间复杂度不过关而以失败告终。

所以我们可以试着消去第三维，把第三维和第二维结合在一起。

令\(f[i][j]\)表示\(a\)序列的区间\([1,i]\)与\(b\)序列的区间\([1,j]\)的以\(b[j]\)结尾的最长公共上升子序列。

若\(a[i]!=b[j]\)，\(f[i][j]=f[i-1][j]\)

若\(a[i]==b[j]\)，\(f[i][j]=f[i-1][k]+1(0\leqslant k <j,b[k]<b[j])\)

时间复杂度：\(O(n^3)\)

空间复杂度：\(O(n^2)\)

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=505;

int n,m;
int f[maxn][maxn];
int a[maxn],b[maxn];

int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

int main() {
    int T=read();
    while(T--) {
        memset(f,0,sizeof(f));
        n=read();
        for(int i=1;i<=n;i++)
            a[i]=read();
        m=read();
        for(int i=1;i<=m;i++)
            b[i]=read();
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                if(a[i]!=b[j])f[i][j]=f[i-1][j];
                else {
                    for(int k=0;k<j;k++)
                        if(b[k]<b[j])f[i][j]=max(f[i-1][k]+1,f[i][j]);
                }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            ans=max(ans,f[n][i]);
        printf("%d\n",ans);
        if(T)puts("");
    }
    return 0;
}

其实当\(a[i]==b[j]\)的时候我们要枚举的\(k\)可以在之前的计算中用一个变量\(mx\)存下来，然后\(O(1)\)更新。

时间复杂度：\(O(n^2)\)

空间复杂度：\(O(n^2)\)

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=505;

int n,m;
int f[maxn][maxn];
int a[maxn],b[maxn];

int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

int main() {
    int T=read();
    while(T--) {
        memset(f,0,sizeof(f));
        n=read();
        for(int i=1;i<=n;i++)
            a[i]=read();
        m=read();
        for(int i=1;i<=m;i++)
            b[i]=read();
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            int mx=0;
            for(int j=1;j<=m;j++)
                if(a[i]!=b[j]) {
                    f[i][j]=f[i-1][j];
                    if(b[j]<a[i])mx=max(mx,f[i-1][j]);
                }
                else f[i][j]=mx+1;
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            ans=max(ans,f[n][i]);
        printf("%d\n",ans);
        if(T)puts("");
    }
    return 0;
}