图论-单源最短路-SPFA算法

有关概念：

　　最短路问题：若在图中的每一条边都有对应的权值，求从一点到另一点之间权值和最小的路径

　　SPFA算法的功能是求固定起点到图中其余各点的的最短路（单源最短路径）

　　约定：图中不存在负权环，用邻接表存储有向图，d_i存放从起点到结点i的最短路，q为队列，保存待处理节点

思路：

　　首先指定起点入队，取当前队头结点u，沿每一条与u相连的边向外扩展，对该边所指向的结点v松弛（比较当前d_v与当前d_u加此边长，更新最短路值d_v，以及最短路径pre_v）如果v不在队列中且更新了最短路值，v进队，直至队列中没有元素时终止

　　较于Dijkstra，SPFA能处理带负权的边，但如果点进队的次数过多，时间效率就不如前者高

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #define MAXN
 #define MAXM
 #define INF 214748364
 int n,m,cnt,d[MAXN],heads[MAXN],q[MAXN],pre[MAXN];
 int head,tail;//队头、队尾指针
 bool viss[MAXN];//结点i是否在队列中
 struct node
 {
     int u,v;
     int next;
     int val;
 }edge[MAXM];
 void add(int x,int y,int z)
 {
     edge[++cnt].u=x;
     edge[cnt].v=y;
     edge[cnt].next=heads[x];
     edge[cnt].val=z;
     heads[x]=cnt;
 }
 void SPFA()
 {
     head=;tail=;
     q[]=;
     viss[]=;//默认1为起点
     while(head<tail)
     {
         for(int i=heads[q[head]];i!=;i=edge[i].next)
         {
             if(d[q[head]]+edge[i].val<d[edge[i].v])
             {
                 d[edge[i].v]=d[q[head]]+edge[i].val;//松弛
                 pre[edge[i].v]=i;//记录最短路径，pre存储边的序号
                 if(!viss[edge[i].v])//如果v不在队列中，入队
                 {
                     q[tail++]=edge[i].v;
                     viss[edge[i].v]=true;
                 }
             }
         }
         viss[q[head]]=false;
         head++;//队头出队
     }
 }
 void print(int x)
 {
     if(edge[x].u==)
     {
         printf("%d %d ",,edge[x].v);
         return ;
     }
     print(pre[edge[x].u]);
     printf("%d ",edge[x].v);
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     memset(heads,,sizeof(heads));
     for(int i=;i<=n;i++)d[i]=INF;
     int x,y,z;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
         add(x,y,z);
         add(y,x,z);//默认输入双向边，所以存储两条方向相反的边
     }
     SPFA();
     printf("%d\n",d[n]);
     x=pre[n];
     print(x);//输出路径
     return ;
 }

*参考：http://baike.baidu.com/link?url=FxZ5Ces0YdAHMPmVyJG7f_wJ9-8c6EHreyuDEfHpXsldfk-rfj7ZjtSETKX5Jp14WW28sutbf5zcnLSBcmKzM9zaUVD1Sn9WCwsidDVUhPnSX__1ukG38VjR5g5-5NvK_fjovt-kZIJ1bC4HK1MaBa