某DP题目3

　　题意：

　　　　一根数轴上有n只怪物，第i个怪物所在的位置为ai，另有m个特殊点，第i个特殊点所在的位置为bi。你可以对怪物进行移动，若两怪物相邻，那么你不能把他们分开，移动时要看作一个整体。你可以选择向左或向右移动，直到撞到怪物，移动的次数不限制。现在要求最大数量的呆在特殊点上的怪物。 n <= 100000，m <= 2000

　　分析：

　　　　做这题的时候真的非常烦躁，卡在描述状态很久，静下心来思考才能更好地领悟。

　　　　由于最终答案与特殊点密切相关，且特殊点是固定不变的，我们不妨以特殊点为基础作转移。接下来我们就可以分情况来考虑了：假设第i只怪兽在特殊点j的左边，那么就需要pos[j]-pos[i]只怪兽填充，即第i+1~i+pos[j]-pos[i]向左移动；反之亦然。

　　　　然后我就思考状态，发现无论怎么想，转移都涉及到左移和右移，会出现状态重叠的情况。

　　　　那么就要把左移和右移分开，使转移的时候不出现状态重叠的情况。我们令F[i]为前i只怪兽能到达的特殊点的最大数量，而且还带有限制，对于转移怪兽i的时候，怪兽i只能选择不动或者向左移动。那不是说怪兽可以左右移吗？是的，只是怪兽i的向右移是在怪兽i+1~n的转移中，将左右移分开了。这样F[i]所得到的方案必满足所有的怪兽小于等于第i只怪兽的位置pos[i]，避免了状态的重叠，这在后面的转移当中至关重要。

　　　　那么要如何转移呢？

　　　　　　其实在上面的思考中，已经可以得到答案了。

　　　　　　对于F[i]的转移，只有两种：不动或者向左移动。转移是基于特殊点的，你的转移都是为了去占满更多的特殊点，分类讨论如何占满。

　　　　　　1、不动。枚举位置比怪兽i小的特殊点j，若要占据特殊点j，那么就需要i-(pos[i]-pos[j])~i-1的怪兽右移，转移方程即为：F[i] = max{F[i-(pos[i]-pos[j])-1]+1}。当然还需要注意怪兽连成一块的情况。

　　　　　　2、向左移动。枚举位置特殊点j，以及预处理出位置最大不超过特殊点j的怪兽p。若要占据特殊点j，那么i-p需大于等于pos[j]-pos[p]，转移方程即为：F[i] = max{F[p]+1}。这里如果出现连成一块的情况的话，就需要判断第i只怪兽是否在块的最右端，否则，又会出现状态重叠的情况。

 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <string>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>

 using namespace std;

 const int maxn = ;
 const int maxm = ;
 int n, m, a[maxn], b[maxm];
 int belong[maxn], lef_block[maxn], rig_block[maxn], Bcnt;
 int p[maxm], f[maxn];

 void in()
 {
     scanf("%d %d", &n, &m);
     for (int i = ; i <= n; ++i)
         scanf("%d", &a[i]);
     for (int i = ; i <= m; ++i)
         scanf("%d", &b[i]);
 }

 void prepare()
 {
     sort(a+, a+n+);
     sort(b+, b+m+);
     Bcnt = ;
     for (int i = ; i <= n; ++i)
     {
         if (a[i] != a[i-]+ || i == )
         {
             belong[i] = ++Bcnt;
             lef_block[Bcnt] = i;
         }
         else
             belong[i] = Bcnt;
         if (a[i+] != a[i]+)
             rig_block[Bcnt] = i;
     }
     for (int i = ; i <= m; ++i)
     {
         p[i] = p[i-];
         while (a[p[i]+] <= b[i])
             p[i] ++;
     }
 }

 void dp()
 {
     f[] = ;
     for (int i = ; i <= n; ++i)
     {
         f[i] = f[i-];
         for (int j = ; j <= m; ++j){
             if (b[j] <= a[i])
             {
                 //part 1 : i don't move, others rig-move
                 if (i-(a[i]-b[j]) >= )
                 {
                     int t = lef_block[belong[i-(a[i]-b[j])]];
                     f[i] = max(f[t-]+, f[i]);
                 }
                 //part 2 : i lef-move
                 if (b[j]-a[p[j]] <= i-p[j] && rig_block[belong[i]] == i)
                 {
                     f[i] = max(f[p[j]]+, f[i]);
                 }
             }
             else
                 break ;
         }
     }
     printf("%d\n", f[n]);
 }

 void work()
 {
     prepare();
     dp();
 }

 int main()
 {
     freopen("a.in", "r", stdin);
     freopen("a.out", "w", stdout);
     in();
     work();
     return ;
 }