【HDOJ5528】Count a * b（积性函数）

题意：设f(i)为0<=x,y<=i-1且xy%i=0的(x,y)对数，g(i)为sigma f(j) [i%j==0]

给定n，求g(n)，答案对2^64取模

T<=2e4，n<=1e9

思路：这题坚定了我要找一个专业数学手的决心……

x,y从[0,i-1]等价于从[1,i]

From Gold_7

最右边那个符号为约数个数

ANS=n所有约数的平方和-n*约数个数

设s[i][j]表示p[i]^0+p[i]^2+...+p[i]^2*j，欧拉筛之后预处理出来

中间有关于答案的变量全部用unsigned long long

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 using namespace std;
 #define N   40000
 #define M   32
 #define oo  10000000
 #define MOD 105225319

 ull s[N][M];
 int prime[N],isprime[N],tot; 

 ull calc1(int n)
 {
     int k=n;
     ull ans=;
     for(int i=;i<=tot;i++)
     {
         if(prime[i]*prime[i]>n) break;
         if(k==) break;
         int t=;
         while(k%prime[i]==)
         {
             t++;
             k/=prime[i];
         }
         ans*=s[i][t];
     }
     if(k>) ans*=((ull)k*k+);
     return ans;
 }

 ull calc2(int n)
 {
     int k=n;
     ull ans=;
     for(int i=;i<=tot;i++)
     {
         if(prime[i]*prime[i]>n) break;
         if(k==) break;
         int t=;
         while(k%prime[i]==)
         {
             t++;
             k/=prime[i];
         }
         ans*=(t+);
     }
     if(k>) ans*=;
     return ans;
 }

 int main()
 {
      tot=;
      for(int i=;i<N;i++)
      {
          if(!isprime[i]) prime[++tot]=i;
          for(int j=;j<=tot;j++)
          {
              int t=prime[j]*i;
              if(t>N) break;
              isprime[t]=;
              if(i%prime[j]==) break;
          }
     }
     for(int i=;i<=tot;i++)
     {
         ull t=; s[i][]=;
         for(int j=;j<M;j++)
         {
             t*=prime[i]*prime[i];
             s[i][j]=s[i][j-]+t;
         }
     }
     int cas;
     scanf("%d",&cas);
     for(int v=;v<=cas;v++)
     {
         int n;
         scanf("%d",&n);
         ull ans=calc1(n)-calc2(n)*n;
         printf("%I64u\n",ans);
     }
     return ;
 }