BZOJ3462 DZY Loves Math II 【多重背包 + 组合数】

题目

输入格式

第一行，两个正整数 S 和 q，q 表示询问数量。

接下来 q 行，每行一个正整数 n。

输出格式

输出共 q 行，分别为每个询问的答案。

输入样例

30 3

1000000000000000000

输出样例

450000036

提示

对于100%的数据，2<=S<=2*10^6,1<=n<=1018,1<=q<=10^5

题解

DZY系列多神题

容易知道$S$所有质因子的指数最大为$1$，否则结果都为$0$

如果满足，由$S$的范围可知其质因子最多有$7$个

那么$n = \sum\limits_{i = 1}^{k} p_i * t_i$

$t_i$表示第$i$个质因子选了几个

很像一个背包，但是$n$很大，考虑转化

我们先将$n$减去所有$p_i$，保证至少选了一个

因为$p_i$是$S$的因子，所以可以写成$p_i * t_i = Sx + p_iy$且$[p_iy < S]$

也就是分成若干个$S$和剩余不足$S$的部分

那么最终的$n$一定是由若干个前面部分的$S$和后面部分的$p_iy$相加而得

由于任意的$p_iy < S$，所以$\sum p_iy < k * S$，如果做背包，状态数为$k^2 * S \approx 10^8$

可以吧，做一个$O(k * kS)$的多重背包

看起来很汗，但可以跑过

至于这个多重背包的求法，就用一个类似滑动窗口的方法就可以实现$O(k * kS)$了

然后对于每个$n$，枚举多出来的部分$n \mod S + i * S$，$0 \le i < 7$

除了后面多出来的，前面的若干$S$要分配给那些质因子，用组合数挡板法即可

就可以$O(7p)$询问了

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define LL long long int

#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)

#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)

#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");

using namespace std;

const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 1000000000,P = 1e9 + 7;

inline LL read(){

	LL out = 0,flag = 1; char c = getchar();

	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}

	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}

	return out * flag;

}

int f[15000000],g[15000000],inv[10];

int S,p[maxn],pi,sum;

LL N;

bool Sp(){

	int x = S;

	for (int i = 2; i * i <= x; i++)

		if (x % i == 0){

			int cnt = 0;

			p[++pi] = i; sum += i;

			while (x % i == 0) x /= i,cnt++;

			if (cnt > 1) return true;

		}

	if (x - 1) p[++pi] = x,sum += x;

	return false;

}

bool init(){

	if (Sp()) return true;

	f[0] = 1;

	int M = pi * S;

	for (int i = 1; i <= pi; i++){

		memcpy(g,f,sizeof(f));

		for (int j = 0; j < p[i]; j++)

        {

            LL w = 0;

            for (int k = j; k <= M; k += p[i])

            {

                w = (w + g[k]) % P;

                if (k - S >= 0) w = ((w - g[k - S]) % P + P) % P;

                f[k] = w;

            }

        }

	}

	inv[0] = inv[1] = 1;

	for (int i = 2; i < 10; i++) inv[i] = 1ll * (P - P / i) * inv[P % i] % P;

	return false;

}

int cal(LL x,int y){

	LL n = x + y - 1,m = y - 1;

	int re = 1;

	for (int i = 1; i <= m; i++)

		re = 1ll * re * ((n - i + 1) % P) % P * inv[i] % P;

	return re;

}

int main(){

	S = read(); int T = read();

	if (init()){

		while (T--) puts("0");

		return 0;

	}

	while (T--){

		N = read();

		N -= sum;

		if (N < 0){puts("0"); continue;}

		LL ans = 0,cnt = N / S;

		for (int i = 0; i < pi && i <= cnt; i++)

			ans = (ans + 1ll * f[N % S + i * S] * cal(cnt - i,pi) % P) % P;

		printf("%lld\n",ans);

	}

	return 0;

}