回顾复习之背包DP

\(\small{(本文统一将c[i]视作cost，w[i]视作worth，下面的代码用这两个变量表示费用和价值)}\)

\(\Large\textbf{1. 01背包}\)

• \(\large\textbf{描述：}\)
  
  有n个物品，每个物品只有一件，第i个物品体积为vi，价格为ci。现在有一个体积为V的背包，请你从n件物品里选出若干件放进背包里，使得背包里的物品价值最大。
• \(\large\textbf{思路：}\)
  
  01背包的特点是：每种物品只有一件，可以选择放或不放。
  
  我们可以根据此特点进行动态规划（DP），设f[i][j]表示前i件物品放入一个容量为j的背包中可以获得的最大价值，则易得状态转移方程为

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c[i]]+w[i])

(详解：在“将前i个物品放入容量为j的背包中”的这个子问题中，由题意，我们只有\(\textbf{放}\)或\(\textbf{不放}\)两种选择，那么就转化为一个只与前i-1个物品有关的问题。如果不放第i件物品，那么就是“前i-1件物品放入容量为j的背包中”，最大价值为f[i-1][j]；如果放第i件物品，那么就是“前i-1件物品放入剩下的容量为j-c[i]的背包中”，最大价值为f[i-1][j-c[i]]+w[i])

由此可得01背包的\(\textbf{最原始}\)代码

$\large\textbf{code}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N][N],ans=0;
void bag(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=V;j++){
			dp[i][j]=dp[i-1][j];
			if(j>=c[i]){
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c[i]]+w[i]);
			}
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>V;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i]>>w[i];
	}
	bag();
	cout<<dp[n][V];
	return Elaina;
}

以上代码的时间和空间的复杂度均为O(V*N)，其中时间已经不能进一步优化了，但是空间可以

\(\textbf{滚动数组优化code}\)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],ans=0;
int dp[2][N];//滚动数组优化 只开2行数组
void bag(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=V;j++){
			dp[i&1][j]=dp[(i-1)&1][j];
			if(j>=c[i]){
				dp[i&1][j]=max(dp[i&1][j],dp[(i-1)&1][j-c[i]]+w[i]);
			}
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>V;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i]>>w[i];
	}
	bag();
	cout<<dp[n&1][V];
	return Elaina;
}

\(\textbf{一维优化code}\)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],ans;
int dp[N];//一维数组优化
void bag(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=V;j>=c[i];j--){
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>V;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i]>>w[i];
	}
	bag();
	cout<<dp[V];
	return Elaina;
}

\(\Large\textbf{2. 完全背包}\)

• \(\large\textbf{描述：}\)
  
  设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。
• \(\large\textbf{思路：}\)
  
  完全背包的特点是：每种物品有无数件，可以选择放若干件或不放。
  
  设k为取的物品的数量，依据01背包思路，易得状态转移方程为

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i])

完整代码为

$\large\textbf{code}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N][N],ans=0;
void bag(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=V;j++){
			for(int k=0;k*c[i]<=j;k++){
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
			}
		}
	}
}
int main(){
	cin>>V>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i]>>w[i];
	}
	bag();
	cout<<dp[n][V];
	return Elaina;
}

\(\textbf{一维优化code}\)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N],ans=0;
void bag(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=c[i];j<=V;j++){
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
		}
	}
}
int main(){
	cin>>V>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i]>>w[i];
	}
	bag();
	cout<<dp[V];
	return Elaina;
}

\(\Large\textbf{3. 多重背包}\)

• \(\large\textbf{描述：}\)
  
  有N种物品和一个容量为V的背包。第i ii种物品最多有p[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
• \(\large\textbf{思路：}\)
  
  这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有p[i]+1种策略：取0件，取1件……取p[i]件。令dp[i][j]表示前i种物品恰放入一个容量为j的背包的最大价值，则有状态转移方程：

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i])

$\large\textbf{code}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N][N],s[N];
void bag(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=V;j++){
			for(int k=0;k<=s[i]&&k*c[i]<=j;k++){
				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
			}
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>V;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i]>>w[i]>>s[i];
	}
	bag();
	cout<<dp[n][V];
	return Elaina;
}

\(\textbf{一维优化code}\)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N],s[N];
void bag(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=V;j>=0;j--){
				for(int k=0;k<=s[i]&&k*c[i]<=j;k++){
					dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*c[i]]+k*w[i]);
				}
			}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>V;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i]>>w[i]>>s[i];
	}
	bag();
	cout<<dp[V];
	return Elaina;
}

\(\Large\textbf{4. 混合背包}\)

• \(\large\textbf{描述：}\)
  
  一个旅行者有一个最多能用V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn，它们的价值分别为C1,C2,...,Cn。有的物品只可以取一次（01背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

（就是把前01背包、完全背包、多重背包搓起来 搓吧搓吧就出来了(^_−)☆）

直接请出代码君

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Elaina 0
int idx=0,n,V,c[N],w[N],dp[N],s[N],ans=inf;
void bag(){
	for (int i=1; i<=n; i++){
		if(s[i]==1){
			for(int j=V;j>=c[i];j--){
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
			}
		}
		else if(s[i]==0){
			for(int j=c[i];j<=V;j++){
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
			}
		}else{
			for(int j=V;j>=0;j--){
				for(int k=0;k<=s[i]&&k*c[i]<=j;k++){
					dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*c[i]]+k*w[i]);
				}
			}
		}
	}
}
int main(){
	cin>>V>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i]>>w[i]>>s[i];
	}
	bag();
	cout<<dp[V];
	return Elaina;
}

\(\Large\textbf{5. 分组背包}\)

• \(\large\textbf{描述：}\)
  
  一个旅行者有一个最多能用V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn，它们的价值分别为C1,C2,...,Cn。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大
• \(\large\textbf{死路：}\)
  
  这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设dp[k][j]表示前k组物品花费费用j能取得的最大价值，则有：

dp[k][j]=max(dp[k][j],dp[k-1][j-c[i]]+w[i]

\(\textbf{一维优化code}\)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Elaina 0
int n,t,V,T,c[N],w[N],dp[N],g[N][N];
void bag(){
	for (int i=1; i<=T; i++){
		for(int j=V;j>=0;j--){
			for(int k=1;k<=g[i][0];k++){
				int x=g[i][k];
				if(j>=c[x]){
					dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[x]]+w[x]);
				}
			}
		}
	}
}
int main(){
	cin>>V>>n>>T;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i]>>w[i]>>t;
		g[t][++g[t][0]]=i;
	}
	bag();
	cout<<dp[V];
	return Elaina;
}