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最大公约数 | 裴蜀定理

简化题意

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，求 \((\sum\limits_{i=1}^{n}d_ia_i) \bmod k\) 一共会有多少种不同的取值及取值的所有情况，其中对于每一个 \(i(1 \le i \le n)\) 均有 \(d_i\) 为非负整数。

解法

依据裴蜀定理，不难得到存在一个长度为 \(n\) 的序列 \(x\) 满足 \(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3+ \dots = \gcd(a_1,a_2,a_3, \dots ,a_n)\)，其中对于每一个 \(i(1 \le i \le n)\) 均有 \(x_i\) 为整数。所以一定有 \(\gcd(a_1,a_2,a_3, \dots ,a_n)|\sum\limits_{i=1}^{n}d_ia_i\)。

设 \(d'=\gcd(a_1,a_2,a_3, \dots ,a_n),r=(\sum\limits_{i=1}^{n}d_ia_i) \bmod k,\sum\limits_{i=1}^{n}d_ia_i=d'l=kh+r\)，不难得到当 \(h\) 极大时有一组长度为 \(n\) 的序列 \(d\) 满足对于每一个 \(i(1 \le i \le n)\) 均有 \(d_i\) 为非负整数。

• 这里可以感性理解一下。

于是可以建立一个不定方程 \(d'l=kh+r\)，用 \(x'\) 代替 \(l\)，用 \(y'\) 代替 \(-h\)，得 \(d'x'+ky'=r\)。依据裴蜀定理，该方程有解当且仅当 \(\gcd(d',k)|r\)。因为 \(0 \le r<k\)，所以共有 \(\dfrac{k}{\gcd(d',k)}\) 个不同的取值，为保证递增有第 \(i(1 \le i \le \dfrac{k}{\gcd(d',k)})\) 个取值为 \((i-1) \times \gcd(d',k)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define sort stable_sort
#define endl '\n'
int a[500001];
int gcd(int a,int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
	int n,k,i,ans=0;
	cin>>n>>k;
	ans=k;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		ans=gcd(ans,a[i]);
	}
	cout<<k/ans<<endl;
	for(i=0;i<=k/ans-1;i++)
	{
		cout<<i*ans<<" ";
	}
	return 0;
}