[DP][SA][可持久化线段树]黑红兔

• 源自 xyz32768 菜鸡的 FJ 省冬令营模拟赛题

• 原题 CF1063F

Statement

• 给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，仅包含小写英文字母

• 要从中从左往右选出若干段不相交的子串

• 使得选出的这些串中，每个串都是上一个串的严格子串

• 求最多能选出多少段

• \(1\le n\le5\times10^5\)

Solution

• 首先注意到一个性质：设选出的第一个子串长度为 \(len\)，那么最优解选出的子串长度一定是 \(len,len-1,\dots,2,1\)

• 于是从右往左 DP：\(f[i][j]\) 表示以 \(i\) 为首串的开头，是否存在选出 \(j\) 段的方案（也是首串的长度为 \(j\)）

• 这个 DP 是 \(O(n^2)\) 的

• 我们还有一个性质：\(f[i][j]\) 是单调的。换句话说，如果存在选出 \(j\) 个串的方案就一定存在选出 \(j-1\) 个串的方案

• 证明考虑第一个串 \(t\) ，如果选出的前 \(k\) 个串都是 \(t\) 的后缀，而第 \(k+1\) 个串是第 \(k\) 个串的前缀，那么我们可以把前 \(k\) 个串都删掉最后一个字符，第 \(k+1\) 个串直接扔掉，这样就构造出了一个选 \(j-1\) 个串的方案，特殊情况 \(k=j\) 时把所有串都删掉最后一个字符并把最后一个串（长度已经变成 \(0\)）扔掉

• 于是可以重新定义 \(f[i]\) 表示以 \(i\) 为开头最多选出多少个串

• 根据上面的结论，可以二分 \(f[i]\)，转化成判断是否存在 \(j\in[i+f[i]\dots n]\) 使得 \(\max(\text{lcp}(i,j),\text{lcp}(i+1,j))\ge f[i]-1\) 且 \(f[j]\ge f[i]-1\)

• 易得建出 SA 之后，满足 \(\text{lcp}(i,j)\ge f[i]-1\) 的 \(rank_j\) 是一段区间，可以二分 + RMQ 求出这个区间之后，利用可持久化线段树求得该区间内的 \(f[j]\) 最大值，\(\text{lcp}(i+1,j)\) 同理

• 这样的复杂度是 \(O(n\log^2n)\) 的

• 注意到另一个性质：\(f[i+1]\ge f[i]-1\)，证明类似上一个结论

• 于是把 \(f[i]\) 设成 \(f[i+1]+1\) 之后不断检查当前的 \(f[i]\) 是否合法，如果不合法就一直 \(f[i]--\)

• 易得 \(f[i]--\) 的次数之和不超过 \(O(n)\)，所以总复杂度 \(O(n\log n)\)

• 现场 \(O(n\log^2n)\) 甚至 \(O(n\sqrt n)\) 小常数过了，声名狼藉 QAQ

Code

• 咕咕咕