决策单调性优化dp 专题练习

决策单调性优化dp 专题练习

优化方法总结

一、斜率优化

对于形如 \(dp[i]=dp[j]+(i-j)*(i-j)\)类型的转移方程，维护一个上凸包或者下凸包，找到切点快速求解

技法：

1.单调队列 ： 在保证插入和查询的x坐标均具有单调性时可以使用

2.单调栈+二分：保证插入有单调性，不保证查询有单调性

3.分治+ 1 或 2：在每次分治时将\([l,mid]\)这段区间排序后插入，然后更新右区间\([mid+1,r]\)的答案

二.分治、单调队列维护有单调性的转移 （甚至还有分治套分治）

分治法介绍：

定义函数\(Solve(l1,r1,l2,r2)\)记录当前分治到被转移的区间是\(l1,r1\)，用来更新的区间是\([l2,r2]\)

枚举找到\(mid\)的决策点，根据单调性将\([l2,r2]\)分成两段，递归进行

复杂度上，每一个递归层的\([l1,r1]\)，\([l2,r2]\)都分别构成近似一整段[1,n]的区间，最多只有\(log n\)层，所以复杂度是\(nlogn\)

三.四边形不等式优化

传送门

练习

一、斜率优化

另一篇总结

Extra A：柠檬 题解传送门

Extra B ：牛学校 题解传送门

二、单调性优化

A: Lawrence 题解传送门

B: Lightning Conductor 题解传送门

C: 记忆的轮廓 题解传送门

D:区间 题解传送门

E:Post加强版 题解以及拓展

三、四边形不等式

石子合并。。。