【BZOJ3711】Druzyny

【BZOJ3711】Druzyny

题面

bzoj

题解

首先我们有一个\(O(n^2)\)的\(dp\)：

设\(f_i\)表示现在已经分好了\(1...i\)的组，且\(i\)作为一组的结尾的最大值，那么转移的话就是对于每个

\(\max\limits_{k=j}^i c_k\leq i-j+1\leq \min\limits_{k=j}^i d_k\)的\(f_{j-1}\)转移一下。

然后这个平方算法减下枝就艹过去了

然后想想怎么优化这个东西。

令\(pre_i\)表示在仅考虑\(d\)的限制之下，对于某一右端点\(i\)可以转移过来的左端点\(j-1\)的最靠左的位置，那么上文的\(j\)对应的就是\([j+1,i]\)这个区间，而且\(pre\)肯定也是单调不降的。

我们考虑在这样子处理\(d\)限制的基础之上解决\(c\)限制，对于一个点的转移，肯定只与一段区间内\(c\)的最大值有关，考虑最大值分治。假设对于一段区间\([l,r]\)，\([l+1,r]\)的\(c\)所处的最大值位置为\(p\)(由上文所述，\(f_l\)是否能转移到\(f_r\)不取决于\(l\)的情况)，然后递归处理\([l,p)\)再对于\(j\in [l,p)\)，我们要求出\(f_j\)对于\(f_i,i\in [p,r]\)的贡献，最后递归\([p,r]\)。

那么问题的关键在于对于\(\forall i\in [p,r]\)，\(pre_i\)不降，在复杂度正确的情况下求出\(\forall j\in [l,p)\)对其的贡献。

下面分为四种情况解决这个问题：

\(\text{Case 1:}\)

\(pre_i\leq l,i-p+1< c_p\)，此时这种\(i\)会由\([l...x](x< p)\)这段前缀转移过来，第一次用线段树找到最开始的前缀最大值然后随着\(i\)增加往后面推可以\(O(1)\)转移。

这种情况只会\(O(\log n)\)查一次以及一次\(\min(p-l,r-p+1)\)遍历一次，与最大值分治复杂度一致。

\(\text{Case 2:}\)

\(pre_i\leq l,i-p+1\geq c_p\)，这时候整个左区间都能转移过来，二分一下\(pre_i\leq l\)最大的\(i\)然后线段树区间修改即可。

这种情况只会\(O(\log n)\)改一次以及\(O(\log n)\)二分一次。

\(\text{Case 3:}\)

\(pre_i>l\)，直接暴力查线段树区间即可。

对于\(\forall i\)，分治时只会出现至多一次这样的情况，总复杂度\(O(n\log n)\)。

\(\text{Case 4:}\)

直接退出即可。

最后这题卡空间只能用线段树求区间最值，复杂度\(O(n\log n)\)在上面已经分析过了。

代码

这里是\(O(n^2)\)艹过去的

\(O(n\log n)\)：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
inline int gi() {
    register int data = 0, w = 1;
    register char ch = 0;
    while (!isdigit(ch) && ch != '-') ch = getchar();
    if (ch == '-') w = -1, ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) data = 10 * data + ch - '0', ch = getchar();
    return w * data;
}
const int INF = 1e9;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int MAX_N = 1e6 + 5;
int N, c[MAX_N], d[MAX_N], pre[MAX_N];
struct Data { int f, g; } F[MAX_N];
Data operator + (const Data &l, const Data &r) {
	if (l.f == r.f) return (Data){l.f, (l.g + r.g) % Mod};
	else {
		if (l.f < r.f) return (Data){r.f, r.g};
		else return (Data){l.f, l.g};
	}
}
#define lson (o << 1)
#define rson (o << 1 | 1)
namespace SGT1 {
	int maxp[MAX_N << 2];
	void build(int o, int l, int r) {
		if (l == r) return (void)(maxp[o] = l);
		int mid = (l + r) >> 1;
		build(lson, l, mid), build(rson, mid + 1, r);
		maxp[o] = c[maxp[lson]] > c[maxp[rson]] ? maxp[lson] : maxp[rson];
	}
	int query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
		if (ql <= l && r <= qr) return maxp[o];
		int mid = (l + r) >> 1, res = 0;
		if (ql <= mid) res = query(lson, l, mid, ql, qr);
		if (qr > mid) {
			int p = query(rson, mid + 1, r, ql, qr);
			res = c[res] > c[p] ? res : p;
		}
		return res;
	}
}
namespace SGT2 {
	Data Max[MAX_N << 2], Tag[MAX_N << 2];
	void pushup(int o) { Max[o] = Max[lson] + Max[rson]; }
	void puttag(int o, Data v) { Tag[o] = Tag[o] + v, Max[o] = Max[o] + v; }
	void pushdown(int o) {
		puttag(lson, Tag[o]);
		puttag(rson, Tag[o]);
		Tag[o] = (Data){-INF, 0};
	}
	void build(int o, int l, int r) {
		Max[o] = Tag[o] = (Data){-INF, 0};
		if (l == r) return ;
		int mid = (l + r) >> 1;
		build(lson, l, mid), build(rson, mid + 1, r);
	}
	void upd(int pos) {
		int o = 1, l = 0, r = N;
		while (l < r) {
			pushdown(o);
			int mid = (l + r) >> 1;
			if (pos <= mid) o = lson, r = mid;
			else o = rson, l = mid + 1;
		}
		F[pos] = Max[o] = F[pos] + Tag[o];
		while (o >>= 1) pushup(o);
	}
	void modify(int o, int l, int r, int ql, int qr, Data v) {
		if (ql <= l && r <= qr) return puttag(o, v);
		pushdown(o);
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (ql <= mid) modify(lson, l, mid, ql, qr, v);
		if (qr > mid) modify(rson, mid + 1, r, ql, qr, v);
		pushup(o);
	}
	Data query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
		if (ql > qr) return (Data){-INF, 0};
		if (ql <= l && r <= qr) return Max[o];
		pushdown(o);
		int mid = (l + r) >> 1;
		Data res = (Data){-INF, 0};
		if (ql <= mid) res = res + query(lson, l, mid, ql, qr);
		if (qr > mid) res = res + query(rson, mid + 1, r, ql, qr);
		return res;
	}
}
void init() {
	SGT1::build(1, 1, N);
	SGT2::build(1, 0, N);
	static priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q1, q2;
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		pre[i] = pre[i - 1];
		q1.push(d[i]);
		while (!q2.empty() && q1.top() == q2.top()) q1.pop(), q2.pop();
		while (q1.top() < i - pre[i]) {
			q2.push(d[++pre[i]]);
			while (!q2.empty() && q1.top() == q2.top()) q1.pop(), q2.pop();
		}
	}
}
void Div(int l, int r) {
	if (l == r) return SGT2::upd(l);
	int p = SGT1::query(1, 1, N, l + 1, r);
	Div(l, p - 1);
	int pos = max(p, l + c[p]);
	Data nw = SGT2::query(1, 0, N, l, pos - c[p] - 1);
	while (pos <= r && pre[pos] <= l && pos - c[p] < p) {
		nw = nw + F[pos - c[p]];
		F[pos] = F[pos] + (Data){nw.f + 1, nw.g};
		++pos;
	}
	if (pos <= r && pre[pos] <= l) {
		int L = pos, R = r;
		while (L < R) {
			int M = (L + R + 1) >> 1;
			if (pre[M] <= l) L = M;
			else R = M - 1;
		}
		SGT2::modify(1, 0, N, pos, L, (Data){nw.f + 1, nw.g});
		pos = L + 1;
	}
	while (pos <= r && pre[pos] < p) {
		nw = SGT2::query(1, 0, N, pre[pos], min(pos - c[p], p - 1));
		F[pos] = F[pos] + (Data){nw.f + 1, nw.g};
		++pos;
	}
	Div(p, r);
}
int main () {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("cpp.in", "r", stdin);
#endif
	N = gi();
	for (int i = 1; i <= N; i++) c[i] = gi(), d[i] = gi();
	for (int i = 1; i <= N; i++) F[i] = (Data){-INF, 0};
	F[0] = (Data){0, 1};
	init();
	Div(0, N);
	if (F[N].f <= 0) puts("NIE");
	else printf("%d %d\n", F[N].f, F[N].g);
    return 0;
}