NBUTOJ 1643 - 阶乘除法 - [数学题]

题目链接：https://ac.2333.moe/Problem/view.xhtml?id=1643

• 问题描述

• 输入两个正整数 n, m,输出 n!/m!,其中阶乘定义为 n!= 1*2*3*...*n (n>=1)。 比如,若 n=6, m=3,则 n!/m!=6!/3!=720/6=120。

  是不是很简单?现在让我们把问题反过来:输入 k=n!/m!,找到这样的整数二元组(n,m) (n>m>=1)。

  如果答案不唯一,n 应该尽量小。比如,若 k=120,输出应该是 n=5, m=1,而不是 n=6, m=3,因为 5!/1!=6!/3!=120,而 5<6。

• 输入
• 输入包含不超过 100 组数据。每组数据包含一个整数 k (1<=k<=10^9)。
• 输出
• 对于每组数据,输出两个正整数 n 和 m。无解输出"Impossible",多解时应让 n 尽量小。
• 样例输入

• 120
  1
  210

• 样例输出

• Case 1: 5 1
  Case 2: Impossible
  Case 3: 7 4

题解：

首先，impossible的情况只有1；并且所有k为奇数的情况，只能up = K, down = K - 1；

一开始，我想的是对于K，直接暴力枚举up = 1~K，筛掉k%up != 0的，然后剩下的只能while循环去除up - 1、up - 2、up - 3……这样，然后发现，TLE在O(K)枚举上；

然后改换思路，考虑到对于任意一个K，若 n × (n+1) × (n+2) × … × (n+len) = K，则显然len不可能大于p - 1，其中p满足p! > K 且 (p-1)! < K；

then，枚举len = p-1 ~ 1：对于每个len，down必须满足pow(down,len) < K，然后从1开始枚举down，算出 (down+1) × (down+2) × … × (down+len)，判断一下即可。

最后考虑到之前O(K)枚举超时，所以特判当len=1时直接输出up = K, down = K - 1.

AC代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll fact[];
void init()
{
    fact[]=;
    for(int i=;i<=;i++)
    {
        fact[i]=i*fact[i-];
        //printf("fact[%d]=%I64d\n",i,fact[i]);
    }
}
ll k;
int main()
{
    init();
    int kase=;
    while(scanf("%I64d",&k)!=EOF)
    {
        if(k==)
        {
            printf("Case %d: Impossible\n",++kase);
            continue;
        }
        if(k%==)
        {
            printf("Case %d: %I64d %I64d\n",++kase,k,k-);
            continue;
        }

        int maxlen;
        bool ok=;
        for(int i=;i<=;i++)
        {
            if(fact[i]==k)
            {
                printf("Case %d: %d %d\n",++kase,i,);
                ok=;
                break;
            }

            if(fact[i]>k && fact[i-]<k)
            {
                maxlen=i-;
                break;
            }
        }
        if(ok) continue;

        ok=;
        for(int len=maxlen;len>=;len--)
        {
            if(len==)
            {
                printf("Case %d: %I64d %I64d\n",++kase,k,k-);
                break;
            }

            for(ll down=;pow((double)down,(double)len)<(double)k;down++)
            {
                ll prod=; for(int i=;i<=len;i++) prod*=down+i;

                if(prod==k)
                {
                    printf("Case %d: %I64d %I64d\n",++kase,down+len,down);
                    ok=;
                    break;
                }
                if(prod>k) break;
            }

            if(ok) break;
        }
    }
}