HZOJ 单

两个子任务真的是坑……考试的时候想到了60分的算法，然而只拿到了20分（各种沙雕错，没救了……）。

算法1：

对于测试点1，直接n遍dfs即可求出答案，复杂度O(n^2),然而还是有好多同学跑LCA/最短路……

期望得分10;

算法2（搬运题解，因为这个我没有想到……）：

t=1的数据最直接的想法是枚举所有可能的a[]数组判断是否可行.第2个测试点n<=5,1<=a[i]<=20.注意20^5=3200000,直接暴力搜索a[i]的取值是可以承受的，可以通过第2个测试点,期望得分10分，结合算法1,期望得分20分.

算法3：

对于测试点6，7。我们可以发现每个点的dis都有联系，这不就是二次扫描与换根吗（具体看代码理解）。结合算法2期望得分40;

 void dfs2(int x,int fa)
 {
     for(int i=f(x);i;i=n(i))
     if(v(i)!=fa)
     {
         b[v(i)]=b[x];
         b[v(i)]-=sum[v(i)];
         b[v(i)]+=sum[x]-sum[v(i)];
         sum[x]-=sum[v(i)];
         sum[v(i)]+=sum[x];
         dfs2(v(i),x);
         sum[v(i)]-=sum[x];
         sum[x]+=sum[v(i)];
     }
 }

第二次扫描的代码

算法4：

t=1的数据中,b数组的表达式写出来之后,每个b[i]对应一个关于a[i]和树上两点距离的方程,例如b[1]=dis(1,1)*a[1]+dis(1,2)*a[2]+dis(1,3)*a[3]+...+dis(1,n)*a[n],于是可以列出n个方程用高斯消元求解,可以通过第2,3,4个测试点,期望得分30分,结合算法3,期望得分60分。要注意的一点是，高斯消元中要注意这句话‘if(fabs(sa[j][i])>fabs(sa[i][i]))’，本人死于此……还有不少人死于强制类型转化的四舍五入，其实printf("%0.0lf")即可;

之后的算法题解写的已经很清晰了，我觉得我也写不了这么清楚，就直接搬运了。

算法5：

对于测试点5,树退化为1条链。这个测试点的作用主要在于启发选手想到正解的思路（然而我并没有什么启发……）。

t=0时，我们分别考虑编号小于i和大于i的点对b[i]的贡献.那么离得越远的点对答案的贡献越大.分别考虑每条边对答案的贡献,那么左侧的某条边对答案的贡献就是这条边左侧全部a[i]之和.实际上，我们对a[i]分别求取两次前缀和，两次后缀和即可完成对b[i]的计算.

记suf(i)为a[i]+a[i+1]+....+a[n-1]+a[n],pre(i)为a[1]+a[2]+...+a[i-1]+a[i],则b[i]=pre(1)+pre(2)+...+pre(i-1)+suf(i+1)+suf(i+2)+...+suf(n-1)+suf(n)

考虑t=1的情况.

我们知道suf(2)+suf(3)+...+suf(n)的值（即b[1]),知道pre(1) + suf(3) + suf(4) +...+suf(n)的值(即b[2]),知道pre(1)+pre(2)+suf(4)+...+suf(n)的值（即b[3]），注意到这些式子有很多项是一样的,考虑作差.可以得到下面的式子:

b[2]-b[1]=pre(1)-suf(2),b[3]-b[2]=pre(2)-suf(3).....b[i+1]-b[i]=pre(i)-suf(i+1)

这些式子是有实际意义的,考虑从b[1]变到b[2]时答案的变化量,变化的就是1和2之间连边的贡献.

同时,记SUM=a[1]+a[2]+...+a[n-1]+a[n]，显然pre(i)+suf(i+1)=SUM,因此pre(i)=SUM-suf(i+1),将上面式子中所有pre换成suf，我们就知道了

SUM-2*suf(2) ,SUM-2*suf(3)...SUM-2*suf(n)的取值。

注意我们将n个式子作差之后得到了n-1个等式，实际上是丢弃了一些信息，只保留了b[i]之间的相对大小而忽略了b[i]自身的数值大小.于是考虑b[1]=suf(2)+suf(3)+suf(4)+... +suf(n),我们发现suf(2)到suf(n)都恰好出现了一次,而之前得到了n-1个形如SUM-2*suf(i)的式子，将这n-1个式子相加,suf(2),suf(3)...suf(n)前面的系数都是2,SUM的系数为(n-1),那么把这个式子加上2*b[1]，就得到了(n-1)*SUM,将求得的SUM代入之前的n-1个式子可以得到suf(2),suf(3),suf(4)......suf(n),差分一下即可得到a数组.

时间复杂度O(n),可以通过第5个测试点.推出这个做法,树上的做法也就不难想了.

算法6(满分算法):

考虑树上的问题.

t=0的时候,我们可以先暴力计算出b[1],然后从b[1]出发开始dfs，由某个点的父亲的b[i]推出这个点的b[i],变化的是这个点和父亲的连边的贡献,也就是这条边两侧的点的a[i]之和的差值.

t=1的时候，顺着链上的思路,我们先随便找一个点为根建树，将有边直接相连的两个点的b[i]作差.设x的父亲为prt[x],以x为根的子树中所有a[i]之和为sum(x), SUM=a[1]+a[2]+...+a[n-1]+a[n]，那么b[x]-b[prt[x]]=(SUM-sum(x))-sum(x).

同链的情况一样,得到n-1个式子，将树根的b[i]也列出式子,可以求出全部a[i]之和,然后就可以根据之前的式子推出所有的a[i],和链的做法类似，不再赘述.

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define MAXN 100010
 #define int LL
 #define LL long long
 #define esp 1e-8
 #define ma(x) memset(x,0,sizeof(x))
 using namespace std;
 struct edge
 {
     int u,v,nxt;
     #define u(x) ed[x].u
     #define v(x) ed[x].v
     #define n(x) ed[x].nxt
 }ed[MAXN*];
 int first[MAXN],num_e;
 #define f(x) first[x]
 int T,n,t;
 LL a[MAXN],b[MAXN];
 LL dis[MAXN],sum[MAXN];
 LL SUM,suf[MAXN];
 LL SUM_2suf[MAXN];
 LL SUM_2sum[MAXN];
 LL TSUM=;

 int map[][];
 double sa[][],sb[];
 void GS()
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=i;j<=n;j++)
         if(fabs(sa[j][i])>fabs(sa[i][i]))
         {
             for(int k=;k<=n;k++)
                 swap(sa[i][k],sa[j][k]);
             swap(sb[i],sb[j]);
         }
         for(int j=;j<=n;j++)
         {
             if(j==i)continue;
             if(fabs(sa[i][i])<=esp)continue;
             double cal=sa[j][i]/sa[i][i];
             for(int k=;k<=n;k++)
                 sa[j][k]-=sa[i][k]*cal;
             sb[j]-=sb[i]*cal;
         }
     }
 }
 void dfs(int x,int fa)
 {
     sum[x]=a[x];
     for(int i=f(x);i;i=n(i))
     if(v(i)!=fa)
     {
         dis[v(i)]=dis[x]+;
         dfs(v(i),x);
         sum[x]+=sum[v(i)];
     }
 }
 void dfs2(int x,int fa)
 {
     for(int i=f(x);i;i=n(i))
     if(v(i)!=fa)
     {
         b[v(i)]=b[x];
         b[v(i)]-=sum[v(i)];
         b[v(i)]+=sum[x]-sum[v(i)];
         sum[x]-=sum[v(i)];
         sum[v(i)]+=sum[x];
         dfs2(v(i),x);
         sum[v(i)]-=sum[x];
         sum[x]+=sum[v(i)];
     }
 }
 void dfs3(int x,int fa)
 {
     if(x!=)SUM_2sum[x]=b[x]-b[fa];
     for(int i=f(x);i;i=n(i))
     if(v(i)!=fa)
         dfs3(v(i),x);
 }
 void dfs4(int x,int fa)
 {
     if(x==)sum[x]=SUM;
     else    sum[x]=(SUM-SUM_2sum[x])/;
     a[x]=sum[x];
     for(int i=f(x);i;i=n(i))
     if(v(i)!=fa)
     {
         dfs4(v(i),x);
         a[x]-=sum[v(i)];
     }
 }
 inline int read();
 inline void add(int u,int v);
 signed main()
 {
 //    freopen("in.txt","r",stdin);

     T=read();
     while(T--)
     {
         ma(sum);ma(first);num_e=;ma(dis);ma(a);ma(b);
         ma(map);ma(sa);ma(sb);ma(suf);SUM=;ma(SUM_2suf);
         ma(SUM_2sum);TSUM=;
         bool pd=;
         n=read();int u,v;
         for(int i=;i<n;i++)
         {
             u=read(),v=read();
             if(v!=u+)pd=;
             add(u,v),add(v,u);
         }
         t=read();
         if(t==)
         {
             for(int i=;i<=n;i++)a[i]=read();
             if(n<=)
             {
                 for(int i=;i<=n;i++)
                 {
                     dis[i]=;
                     dfs(i,);
                     for(int j=;j<=n;j++)b[i]+=a[j]*dis[j];
                 }
                 for(int i=;i<=n;i++)
                     printf("%lld ",b[i]);
                 puts("");
                 continue;
             }
             else
             {
                 dis[]=;dfs(,);
                 for(int i=;i<=n;i++)b[]+=dis[i]*a[i];
                 dfs2(,);
                 for(int i=;i<=n;i++)
                     printf("%lld ",b[i]);
                 puts("");
                 continue;
             }
         }
         if(t==)
         {
             for(int i=;i<=n;i++)b[i]=read();
             if(n<=)
             {
                 for(int i=;i<=n;i++)
                 {
                     dis[i]=;dfs(i,);
                     for(int j=;j<=n;j++)map[i][j]=dis[j];
                 }
                 for(int i=;i<=n;i++)sb[i]=b[i];
                 for(int i=;i<=n;i++)
                     for(int j=;j<=n;j++)sa[i][j]=map[j][i];
                 GS();
                 for(int i=;i<=n;i++)
                     printf("%0.0lf ",sb[i]/sa[i][i]);
                 puts("");
                 continue;
             }
             if(pd)
             {
                 for(int i=;i<=n;i++)SUM_2suf[i]=b[i]-b[i-];
                 LL tem=;
                 for(int i=;i<=n;i++)tem+=SUM_2suf[i];
                 tem+=b[]*;
                 SUM=tem/(n-);
                 for(int i=;i<=n;i++)suf[i]=(SUM-SUM_2suf[i])/;
                 suf[]=SUM;suf[n+]=;
                 for(int i=;i<=n;i++)a[i]=suf[i]-suf[i+];
                 for(int i=;i<=n;i++)
                     printf("%lld ",a[i]);
                 puts("");
                 continue;
             }
             else
             {
                 dfs3(,);
                 for(int i=;i<=n;i++)TSUM+=SUM_2sum[i];
                 TSUM+=b[]*;
                 SUM=TSUM/(n-);
                 dfs4(,);
                 for(int i=;i<=n;i++)
                     printf("%lld ",a[i]);
                 puts("");
                 continue;
             }
         }
     }
 }
 inline int read()
 {
     int s=;char a=getchar();
     while(a<''||a>'')a=getchar();
     while(a>=''&&a<=''){s=s*+a-'';a=getchar();}
     return s;
 }
 inline void add(int u,int v)
 {
     ++num_e;
     u(num_e)=u;
     v(num_e)=v;
     n(num_e)=f(u);
     f(u)=num_e;
 }