51Nod1778 小Q的集合 【组合数】【Lucas定理】

题目分析：

题解好高深......

我给一个辣鸡做法算了，题解真的看不懂。

注意到方差恒为$0$，那么其实就是要我们求$\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(i^k-(n-i)^k)^2$。

转换一下

$\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(i^k-(n-i)^k)^2$

$=2\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(i^{2k}-i^k(n-i)^k)$

注意到$i^{2k}$与$i^k(n-i)^k$在模$m$意义下都是一个周期为$m$的数列，那么我们需要求出每隔$m$个的组合数的和，即：

$2\sum_{i=0}^{m-1}(\sum_{j=0}^{\frac{n-i}{m}}\binom{n}{i+j*m}(i^{2k}-i^k(n-i)^k))$

把焦点放到内部的求和里面去，它是很简单的一个式子，试着转化它。首先我们可以根据Lucas定理分析出，对于外部的$i$，它的结果中一定有$ \binom{n\%m}{i} $。

剩下的是什么？首先有不等式$i+j*m \leq n\%m + \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor*m$。在这里我们毫无疑问地认为$i \leq n\%m$。否则对结果无影响。

我们接受$\left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor$的所有影响，取满它，取满一排，它是$2$的次幂。

所以这个式子就等于$2\sum_{i=0}^{m-1}(\binom{n\%m}{i}*2^{\left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor}(i^{2k}-i^k(n-i)^k))$

$\left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor$很大，采用费马定理优化。

这样我们就可以解决它在$O(mlogk)$的时间内了。

注意，如果我们会线性求逆元以及线性筛，可以去掉log。

代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 const int maxn = ;

 int mod,nr,k,np;
 char str[maxn];
 int str2[maxn];

 int c[maxn],rw[maxn];

 void read(){
     scanf("%s",str);
     scanf("%d%d",&k,&mod);
     int len = strlen(str);
     for(register int i=;i<len;i++){ nr = nr*+str[i]-''; nr %= mod; }
     for(register int i=,num=;i<len;i++){
     np = np*+str[i]-''; str2[i] = np/mod; np %= mod;
     } np = ;
     for(register int i=;i<len;i++){
     np = np*+str2[i]; np %= (mod-);
     }
 }

 int fast_pow(int now,int pw){
     int ans = ,dd = now,base = ;
     while(base <= pw){
     if(base & pw){ans = (1ll*ans*dd)%mod;}
     dd = (1ll*dd*dd)%mod;
     base<<=;
     }
     return ans;
 }

 int prime[maxn/],flag[maxn],num;
 void get_prime(int N){
     rw[] = ; flag[] = ;
     for(int i=;i<=N;i++){
     if(!flag[i]){prime[++num]=i;rw[i]=fast_pow(i,k);}
     for(int j=;j<=num&&i*prime[j]<=N;j++){
         flag[i*prime[j]] = ;
         rw[i*prime[j]] = (1ll*rw[i]*rw[prime[j]])%mod;
         if(i%prime[j] == ) break;
     }
     }
 }

 void init(){
     get_prime(nr);
     np = fast_pow(,np+); c[] = ;
     for(register int i=;i<=nr;i++){
     c[i] = (1ll*c[i-]*(nr-i+))%mod;
     c[i] = (1ll*c[i]*fast_pow(i,mod-))%mod;
     }
 }

 void work(){
     int ans = ;
     for(register int i=;i<mod;i++){
     if(i > nr) break;
     int hh = rw[i];
     int pp = ((1ll*hh*hh)%mod) - (1ll*hh*rw[nr-i])%mod;
     if(pp < ) pp += mod;
     pp = (1ll*pp*c[i])%mod;
     ans += pp; if(ans >= mod) ans -= mod;
     }
     ans += mod; if(ans >= mod) ans -=mod;
     ans = (1ll*np*ans)%mod;
     printf("%d",ans);
 }

 int main(){
     read();
     init();
     work();
     return ;
 }