ABC134F Permutation Oddness

Problem Statement

Let us define the oddness of a permutation $p = \{p_1, p_2, \dots, p_n\}$ of $\{1, 2, \dots, n\}$ as $\sum_{i=1}^{n} | i - p_i |$. Find the number of permutations of $\{1, 2, \dots, n\}$ of oddness $K$, modulo $10^9+7$.

Constraints

• $1 \le n \le 50$
• $1 \le K \le n^2$

Observation ①
$\sum_{i = 1}^{n} p_i - i = 0$ $\implies$ $\sum_{i = 1}^{n} | p_i - i |$ 是偶数。
进一步有 $\sum_{p_i > i} p_i - i = \sum_{p_i < i} i - p_i = \dfrac{\sum_{i = 1}^{n} | p_i - i |}{ 2}$

Approach

以下内容参考了这篇题解 http://kazune-lab.net/contest/2019/07/20/abc134/ 。

左边的圆形代表数字，右边的方形代表盒子，方形右边的数字是盒子的编号。箭头表示将数字放入盒子中。将 $p_i$ 看成数字 $i$ 所在的盒子的编号。

Observation ②
$|p_i - i|$ = 连接数字 $i$ 与盒子 $p_i$ 的线与 $n - 1$ 条水平虚线 $\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_{n-1}$ 的交点数目。

以上图为例，$n = 5$，共有四条水平虚线。

令 $a_j$ 表示连接 $i$ 与 $p_i$ 且 $i < p_i$ 的那些线与第 $j$ 条水平虚线 $\ell_j$ 的交点个数。
以上图为例，满足条件的线有三条（即加粗的那三条线），$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 2, a_4 = 1$ 。

Observation ③
$\sum_{i = 1}^{n - 1} a_i = \sum_{i < p_i} p_i - i = \dfrac{\sum_{i = 1}^{n} | p_i - i |}{ 2}$

可以把往盒子里放数字的过程看作下述 $n$ 阶段决策过程。笼统地说，在第 $i$ 个阶段考虑数字 $i$ 和编号为 $i$ 的盒子如何处置。
把在阶段 $i$ 完成之后 $1, 2, \dots, i$ 这些数字中尚未确定要放进哪个盒子的那些数字的集合记作 $S$，初始时 $S$ 为空。
阶段 $i$ 由下述伪代码所描述：

$\mathtt{if}$ 要把 $i$ 放进 $i$ 号盒子
$\qquad$ 把 $i$ 放进 $i$ 号盒子
$\mathtt{elif}$ $S \ne \emptyset$
$\qquad\mathtt{if}$ 要把 $i$ 放到某个编号小于 $i$ 的盒子
$\qquad\qquad$ 确定把 $i$ 放进哪个盒子并把 $i$ 放进去
$\qquad\mathtt{else}$
$\qquad\qquad$ 把 $i$ 加入 $S$
$\qquad\mathtt{if}$ 要把 $S$ 中的某个数放进盒子 $i$
$\qquad\qquad$ 选一个数放进盒子 $i$ 并将其从 $S$ 中删除
$\mathtt{else}$
$\qquad$ 把 $i$ 加入 $S$

以三元组 $(i, j, k)$ 表示第 $i$ 个阶段结束后的状态：

• $j := |S|$（即 $1$ 到 $i$ 这些数中有 $j$ 个要放到编号大于 $i$ 的盒子里）
• $k := \sum_{t = 1}^{i} a_t$ 。

当阶段 $i$ 结束时，$i$ 以后的数字怎么安排尚未考虑，$j$ 个要放在编号大于 $i$ 的盒子里的数字具体怎么放也没确定。

我们感兴趣的最终状态是 $(n, 0, K / 2)$ 。

注：上图中并未画出第 $n$ 条水平虚线 $\ell_n$，因为只有最终状态是 $(n, 0, \cdot)$ 才对应于一个排列，此时必有 $a_n = 0$。

以上图的放置过程为例，状态依次是
$(0, 0, 0) \to (1, 1, 1) \to (2, 2, 3) \to (3, 2, 5) \to (4, 1, 6) \to (5, 0, 6)$

状态转移

$(i, j, k) \to (i + 1, j', k')$

1. 把 $i + 1$ 放进 $i + 1$ 号盒子：$(i + 1, j, k + j)$
2. $j > 0$，把 $i + 1$ 放进 $x$ 号盒子（$x \le i$）:$(i + 1, j, k + j)$
3. $j > 0$，把 $S$ 中的某个数放进 $i$ 号盒子：$(i + 1, j, k + j)$
4. $j > 0$，把 $i + 1$ 放进 $x$ 号盒子（$x \le i$）并把 $S$ 中的某个数放进 $i$ 号盒子：$(i + 1, j - 1, k + j - 1)$
5. $S$ 中的数以及 $i+1$ 所在的盒子编号都大于 $i + 1$：$(i + 1, j + 1, k + j + 1)$

References