P2476 [SCOI2008]着色方案

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数学太珂怕了……膜一下->这里

记\(sum[i]\)为题中\(c[i]\)的前缀和，\(C[i][j]\)表示\(C_{i}^j\)

设\(f[i][j]\)表示前面\(i\)中颜色已经涂完且涂了\(sum[i]\)块，其中有\(j\)对相同的色块的方案数

考虑第\(i+1\)种颜色

把\(c[i+1]\)个分成\(a\)组，总共有\(C_{c[i+1]-1}^{a-1}\)中方案（相当于\(c[i+1]-1\)个空格中取出\(a-1\)个）

将\(b\)组插入到同色的之间，\(a-b\)组插入到不同色的之间，那么可以转移到\(f[i+1][j-b+c[i+1]-a]\)

方案数为$$f[i][j]C_{c[i+1]-1}^{a-1}*C_jbC_{sum[i]+1-j}^{a-b}$$

其中\(C_j^b\)表示在\(j\)个空之间插入\(b\)个的方案数

\(C_{sum[i]+1-j}^{a-b}\)表示共\(sum[i]+1\)个位置，\(j\)个不能放，剩下的位置放\(a-b\)个的方案数

dp即可，答案为\(f[n][0]\)

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,c[25],sum[25],C[105][105],f[25][105];
void init(){
	for(int i=0;i<=75;++i)C[i][0]=1;
	for(int i=1;i<=75;++i)for(int j=1;j<=i;++j)
	C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
}
int main(){
	init(),scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&c[i]),sum[i]=sum[i-1]+c[i];
	f[1][c[1]-1]=1;
	for(int i=1;i<n;++i)for(int j=0;j<sum[i];++j){
		if(!f[i][j])continue;
		for(int a=1;a<=c[i+1];++a)for(int b=0;b<=a&&b<=j;++b){
			int res=1ll*f[i][j]*C[c[i+1]-1][a-1]%mod*C[j][b]%mod;
			res=1ll*res*C[sum[i]+1-j][a-b]%mod;
			(f[i+1][j+c[i+1]-a-b]+=res)%=mod;
		}
	}
	printf("%d\n",f[n][0]);return 0;
}