微积分 Calculus

前言

如果你的工作中没有用到微积分，毫无疑问，你的工作是简单而枯燥的。

0 limit

Say there is a function \(f(x) = x\).

\(x \rightarrow a\) : We can use this to \(denote\) that \(x\) is approching to \(a\). Yes, it's just an action will never be ended and also will never really equal to a.

(eg. \(a = 0\) then \(x\) will be 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 \(...\) 0.0000000000000000000000000000000000001 \(...\) 0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000001 \(...\) \(x\) can go and go with this pattern never stop.)

Someone says I konw what you want, it is \(limit\). \(Limit\) see this pattern and gives a number \(0\).

\(x\) is running non-stop, and \(limit\) gives you the answer.

so \(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\) is already an answer( number). Then we can use \(=\) to denote it equal to some number.

That is

\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L
\]

limit of \(f(x)\) as \(x \rightarrow a\).

1 导数

对于微积分的描述，总是以 路程(S)-时间(t) 速度(v)-时间(t) 图像的引入开始。因为牛顿发明微积分就是为了解决物理问题！从微分求导开始，抵达积分为终止点。

导数可以看作是图像 某一段 的平均变化率，对应 平均速度。\({\Delta t}\)是一个确定的数字 eg.${\Delta t}= 0.1 = end -start $

\[\frac{\Delta s(t)}{\Delta t} = \frac{ s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t} = \frac{ s(start + end - start) - s(start)}{end -start } = \frac{ s( end ) - s(start)}{end -start }
\]

\(\lim_{ \Delta t \rightarrow 0}\), 表示这一段的长度无限小(approch) and finnaly need to Limit it。图像的这一段很小, 有多小呢？要多小有多小，比原子还小，比任何我们可以想象出来的距离还小！ 就像是一个点。但是永远不会缩一个点。

\[\lim_{ \Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta s(t)}{\Delta t}= lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}
\]

\[\lim_{ \Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta s(t)}{\Delta t} : =\frac{ds(t)}{dt} =\frac{s(t + dt) - s(t)}{dt}
\]

业界有个不成文的规矩，喜欢用\(\frac{ds(t)}{dt}\)这种简化版本来表示正常的导数定义，毫无疑问，这缺少了许多信息。

不过面对任何数学问题，有一个大杀器 All you need is just a Definition. 去翻翻他们的定义吧。

We can use \(dt\) to denote this process, first it just (small number) and limit in the context like $ \frac{ s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t} $.

也就是说

\[dt := \text{ 1. We treat it as a normal number } \Delta t \text{ and process it in the context.}
\]

\[\text{2. For the answer which from 1, running with } \Delta t \rightarrow 0.
\]

\[\text{3. Finnaly Limit it.}
\]

需要注意的是 \(s = s(t)\), \(s\) 的值随着 \(t\) 来变化， t 被称为独立(independet)变量, s 被称为非独立(dependent)变量.

用 \(ds(t)\) 来表示他们的差。非常重要的一点是 \(ds(t)\) 依赖于 \(dt\)，哪怕是在趋近的过程中，他们也是同步的变化。

\[ds(t) = s(t + dt) - s(t)
\]

事实是这样的，虽然 \(ds\) \(dt\) 都很小，但是他们比值的结果并不小。

eg.

\[s(t)=t^2
\]

\[\frac{\Delta s(t)}{\Delta t} = \frac{ s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}=2t + \Delta t
\]

\[\lim_{ \Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta s(t)}{\Delta t}=\frac{ds(t)}{dt} =\frac{s(t + dt) - s(t)}{dt}=2t
\]

(Informal ) 某一 路程(S)-时间(t) (函数)的图像中。由于对于上式的计算化简(导数公式的来源)，对于路程函数s(t)的任意一时间 t, 我们总能找到与之对应的 速度v(t).

\[\frac{ds(t)}{dt} =\frac{s(t + dt) - s(t)}{dt} = v(t)
\]

导数并不难，下面就是积分了。以及导数和积分的关系。

1.1 二维情况

在邻域内，可以认为是线性的，无论是x方向还是y方向。在(x,y)处，dz是0, 因为没有变化。因为分子是quantom1， 斜率可以认为与（dZx, dZy）相关。对于任意一个方向，差异为(dZx * cosA + dZy * cosB) = （dZx, dZy）dot (cosA, cosB) 所以方向与 （dZx, dZy）相同的方向为差异值最大的方向，也就是梯度的方向。

2 积分

求积分就是求面积。对于速度图像 速度(v)-时间(t)， 要想求其下的面积可以用固定间隔 \(\Delta t\) 将其分成小长条。这里我们分成3块。

\[v(1)\Delta t + v(2)\Delta t + v(3)\Delta t = \sum_{t=1}^{3} v(t) \Delta t
\]

这个时候是可以手工计算出来的。 但是误差会比较大。

我们缩短间隔，变成长度趋于零的 \(dt\)。由于 \(dt\) 间隔无限小，我们可以划分出无限多的小长条。并且将他们加起来。\(\int\) 表示求和。

\[\int_{start}^{end} v(t)dt
\]

但是怎么算呢？这么多东西不是手工可以加起来的。我们可以仔细看看上面的式子，并对其做出变换。

\[\int v(t)dt=\int \frac{ds(t)}{dt} dt= \int \frac{s(t + dt) - s(t)}{dt} dt = \int s(t + dt) - s(t)
\]

最终等于无数个小间隔于 路程(S)-时间(t) 图像中的函数值s(t)之差的和。

\[s(t_{end}) - s(t_{end} - dt) + s(t_{end} - dt) - s(t_{end} - 2dt) + ..... - s(t_{start})
\]

\[s(t_{end} + dt) - s(t_{start}) = s(t_{end}) - s(t_{start})
\]

所以我们可以把待求积分的函数看作是一个导函数 v(t)， 无法直接求出无数项相加转而去寻找其原函数s(t)在这一段的差值。积分的表示是一种无限小的极限想法，而计算则需要与导数相连

注：

2022.2.28日，由麦克斯韦方程组引发对于微积分的再次探究。

3 Continuity with Open set

\(\varepsilon\)-Neighborhood(an open set)

Let \(a\in\mathbb{R}\) and \(\varepsilon>0.\) The \(\varepsilon\)-neighborhood at \(a\) is the set

\[\begin{gathered}
B_{\varepsilon}(a)=\left(a-\varepsilon,a+\varepsilon\right)
=\left\{x\in\mathbb{R}:|x-a|<\varepsilon\right\}.
\end{gathered}
\]

Inverse Image

Let \(f:X\to Y\) be a function. Let \(U\subset Y.\) Then the \(inverse\) \(image\) of \(U\), denoted $f^{- 1}( U) , $is the set

\[f^{-1}(U)=\{x\in X\mid f(x)\in U\}.
\]

Epsilon-delta definition of continuity

\[\forall\epsilon>0 \; \exists\delta>0 \; \forall x \in D : |x-x_0|<\delta=>|f(x)-f(x_0)|<\epsilon
\]

MATH 1150: Mathematical Reasoning: Definition: Subset

A is a subset of B, (denoted \(A \subseteq B\)), if every element of A is also an element of B.

\[\text{If } x \in A \text{ then } x \in B
\]

Continuous Functions via Open Neighborhoods

\[|x-x_0|<\delta := \; x \in B_{\delta}(x_0)
\]

\[|f(x)-f(x_0)|<\epsilon := f(x) \in B_{\varepsilon}(f(x_0)) = x \in f^{-1}(B_{\varepsilon}(f(x_0)))
\]

\[\forall\epsilon>0 \; \exists\delta>0 \; \forall x \in D : x \in B_{\delta}(x_0) => x \in f^{-1}(B_{\varepsilon}(f(x_0)))
\]

\[\forall\epsilon>0 \; \exists\delta>0 \; \forall x \in D : x \in B_{\delta}(x_0) \subseteq x \in f^{-1}(B_{\varepsilon}(f(x_0)))
\]

X Refference

1. Epsilon-delta_definition_of_continuity
   
   https://de.m.wikibooks.org/wiki/Serlo:_EN:_Epsilon-delta_definition_of_continuity#:~:text=Among the sequence criterion%2C the epsilon-delta criterion is,cause arbitrarily small changes of the function value.

2. Gerbert Strong MIT calculus

3. Difference Between Inverse Functions and Inverse Images
   
   https://people.clas.ufl.edu/groisser/files/inverse_images.pdf
   
   另一种Open Set的拓扑学集合连续的定义需要用到inverse_images.

4. https://www.youtube.com/watch?v=LISvIcPwSDA&list=PLL0ATV5XYF8BWP1JYgTkF-EIxAoFLSUrP&index=28&ab_channel=MatthewSalomone

后记：本篇博文中英文混杂，不过希望大家理解，最好的数学资料来自于英文课本，所以。