Solution Set -「OurOJ Contest #2587」浅写

\(\mathscr A\sim\)「OurOJ #47030」_

  Link & Submission & Tags:「A.DP-计数 DP」「A.数学-Stirling 数/反演」「B.Tricks」

  我们习惯于用组合数拆形如 \(l^k\) 的贡献，可惜 \(\mathcal O(nk^2)\) 的复杂度不被允许。我们需要找到更优秀的贡献拆分方法。

  关于幂，可以想到 Stirling 反演。考虑

\[l^k=\sum_{i=0}^k{k\brace i}l^{\underline i},
\]

其中 \(l^{\underline i}\) 看上去并不好维护，但是它有一个很简单的组合意义：从走过的 \(l\) 条边里有序地选出 \(i\) 条的方案数。除一个 \(i!\)，那就是 \(\binom{l}{i}\)，即无序地选出 \(i\) 条边的方案数。我们对这个计数问题暴力 DP，令 \(f(u,i)\) 表示从 \(1\) 走到 \(u\)，已经在路径上选了 \(i\) 条边的方案数。\(\mathcal O(nk)\) 转移就行。

\(\mathscr B\sim\)「OurOJ #47031」__

  Link & Submission & Tag:「A.数据结构-树套树」

  “至少出现一次”，可以尝试直接不重不漏地进行加法贡献。那么当 \(u\) 的颜色变为 \(c\) 时，所有 \(u\) 的祖先中，子树内以前没有 \(c\) 颜色的结点都会受 \(u\) 贡献；当 \(u\) 的颜色从 \(c\) 改变时亦有类似讨论。用 set 维护一下每种颜色出现的 DFN，可以倍增求出最高的满足要求的 \(u\) 的祖先 \(v\)。

  然后呢？BIT 套线段树差分维护“\(u\) 到 \(v\) 的数量上每个点答案的 \(c\) 位置 \(\pm1\)”，\(\mathcal O((n+q)\log^2n)\)，不卡常。

\(\mathscr C\sim\)「OurOJ #47031」___ *

  Link & Submission & Tags:「A.DP-状压/插头 DP」「C.性质/结论」

  条件的转化很关键，不要一味按照题目描述的顺序思考，例如本题，可以想想，如果先把所有权值随机出来，我们能得到多少种点分树？

  ——只有唯一一棵！每次分治区域内的最小值位置需保证唯一，这个点就是当前分治中心，依此递归构造，一种点权方案要不非法，要不只能由一种点分树生成。

  进一步，怎样才能保证最小值位置唯一？——对于任意两个权值相同的结点，它们的树上路径中必须存在权值更小的结点。可见这是合法的充要条件。

  接下来的求解就平凡了。令 \(f(u,S)\) 表示 \(u\) 子树内，能从对应点出发，仅经过权值不小于自己的结点，走到 \(u\) 以上的权值集合为 \(S\)，暴力转移可做到 \(\mathcal O(n3^k)\)。

  然后，如你所见，极其卡常。给一些我加的优化叭。

  实现层面，不要用任何辅助数组。注意贡献形式是，当 \(S\cap T=\varnothing\) 且 \(S\) 的最高 bit 不在 \(T\) 中时，\(f(u,S)\times f(v,T)\rightarrow f(u,\{x\mid x\le \operatorname{high}(S)\land(x\in S\lor x\in T)\})\)。从大到小枚举 \(S\)，同步在 \(f(v)\) 上滚类似后缀和的东西即可。

  卡常技巧：

• 指针存一下二维状态的第一维，保证瓶颈处只有一维数组访问；

• 虽然不知道效果明不明显，也不知道科不科学：DP 的第二维不要恰好开成 \(2^k\)，这样很浪费 cache line；

•   #pragma GCC optimize("Ofast")
    #pragma GCC target("avx, avx2, mmx, sse, sse2, sse3, sse4, ssse3")
  

  最后，值得一提的是，\(f\) 的转移可以表示为一定条件下的集合卷积，至少可以无脑优化至 \(\mathcal O(nk^32^k)\)，理论层面比较优秀，但是算出来巨大，标算没采用这种做法可以理解。另一方面，完整的贡献形式并不是位运算卷积，所以可能很难用类 FWT 的思路取得更好优化效果。