BZOJ2822[AHOI2012]树屋阶梯——卡特兰数+高精度

题目描述

暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第一个晚上，教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重，必须选择在高处的树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为N+1尺（N为正整数）的大树上，正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材（如图1.1），经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是1尺的整数倍，教官命令队员们每人选取N个空心钢材来搭建一个总高度为N尺的阶梯来进入树屋，该阶梯每一步台阶的高度为1尺，宽度也为1尺。如果这些钢材有各种尺寸，且每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？（注：为了避免夜里踏空，钢材空心的一面绝对不可以向上。）

以树屋高度为4尺、阶梯高度N=3尺为例，小龙一共有如图1.2所示的5种

搭 建方法：

输入

一个正整数 N(1≤N≤500)，表示阶梯的高度

输出

一个正整数，表示搭建方法的个数。（注：搭建方法个数可能很大。）

样例输入

3

样例输出

5

提示

1  ≤N≤500

设f[i]表示n=i时的答案，考虑这样一种构造方法：

在n阶阶梯的左上角放一个i阶阶梯，右下角放一个n-i-1阶阶梯，剩下的部分用一个大矩形补上，这样恰好用了n个矩形

那么f[n]=f[0]*f[n-1]+f[1]*f[n-2]+……+f[n-2]*f[1]+f[n-1]*f[0]

这个就是卡特兰数的递推式！

因为没有模数，所以要高精度。

将卡特兰数用组合数的通项公式表示，枚举每个质因子在分子和分母分别出现几次，用分子的减去分母的，剩下的就是一个高精乘低精。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
struct miku
{
    int len;
    int a[10010];
};
int n;
miku multiply(miku x,int y)
{
    miku z;
    for(int i=1;i<=x.len;i++)
    {
        z.a[i]=x.a[i]*y;
    }
    for(int i=2;i<=x.len;i++)
    {
        z.a[i]+=z.a[i-1]/10;
        z.a[i-1]%=10;
    }
    z.len=x.len;
    while(z.a[z.len]>10)
    {
        z.len++;
        z.a[z.len]+=z.a[z.len-1]/10;
        z.a[z.len-1]%=10;
    }
    return z;
}
miku divide(miku x,int y)
{
    miku z;
    int res=0;
    for(int i=x.len;i>=1;i--)
    {
        res=res*10+x.a[i];
        z.a[i]=res/y;
        res%=y;
    }
    z.len=x.len;
    while(z.a[z.len]==0)
    {
        z.len--;
    }
    return z;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    miku ans;
    ans.len=1;
    ans.a[1]=1;
    for(int i=n+2;i<=2*n;i++)
    {
        ans=multiply(ans,i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=divide(ans,i);
    }
    for(int i=ans.len;i>=1;i--)
    {
        printf("%d",ans.a[i]);
    }
}