MT【122】一个重要的不平凡的无穷级数

求证：$1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots +\dfrac{1}{n^2}+\cdots = \dfrac{\pi^2}6$．

解答:考虑$$\dfrac{\sin x}x=1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}-\dfrac{x^6}{7!}+\cdots +(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!}+\cdots ,$$ 由于$y=\dfrac{\sin x}x$的零点为$x=\pm \pi,\pm 2\pi,\cdots ,\pm n\pi,\cdots ,$

因此$1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}-\dfrac{x^6}{7!}+\cdots +(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!}+\cdots =\left(1-\dfrac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{4\pi^2}\right)\cdots \left(1-\dfrac{x^2}{n^2\pi^2}\right)\cdots,$ 对比上式中$x^2$项的系数可得$$1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots +\dfrac{1}{n^2}+\cdots = \dfrac{\pi^2}6.$$

评:此方法是欧拉最早使用的，欧拉以它卓越的分析能力，给出了这个级数和的最早的正确答案，当然站着大学数学分析的角度，这个方法还是显得有些粗糙和冒险。