【BZOJ】【3240】【NOI2013】矩阵游戏

十进制快速幂+矩阵乘法+常数优化

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　　听说这题还可以强行算出来递推式……然后乘乘除除算出来……

　　然而蒟蒻选择了一个比较暴力的做法= =

　　我们发现这个递推的过程是线性的，所以可以用矩阵乘法来表示，$x=a*x+b$这样一个递推式我们可以这样表示：$$\begin{bmatrix} x& 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} a& 0 \\ b& 1 \end{bmatrix} $$

　　那么我们可以令$s_1$表示×a+b，$s_2$表示×c+d，那么我们有$$ans=v * ( ({s_1}^{n-1}*s_2)^{m-1} * {s_1}^{n-1} )$$

　　然而直接算我给TLE了……

　　

　　下面说一下常数优化：

　　我们注意到矩阵乘法的时候有：$$\begin{bmatrix} a& 0 \\ b& 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} c& 0 \\ d& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a*c& 0 \\ a*d+b& 1 \end{bmatrix}$$

　　也就是说：第二列的0和1是一直不动的……那么我们可以将大部分$O(n^3)$的矩阵乘法过程优化到$O(n^2)$。

　　这里我们${s_1}^{n-1}$出现了两次，那么我们可以用一个中间变量先存下来，可以减少一次运算（毕竟整个算法的主要部分就是在算这几个power）

 /**************************************************************
     Problem: 3240
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:7980 ms
     Memory:3232 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 3240
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 inline int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*sign;
 }
 const int N=1e6+,INF=~0u>>,P=1e9+;
 typedef long long LL;
 /******************tamplate*********************/

 struct Matrix{
     int v[][];
     Matrix(int x=){F(i,,)F(j,,)if(i==j)v[i][j]=x;else v[i][j]=;}
     int* operator [] (int x){return v[x];}
 }s1,s2,v;
 inline Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){
     Matrix c;
     if (a[][]== && a[][]== && b[][]== && b[][]==){
         c[][]=(LL)a[][]*b[][]%P;
         c[][]=;
         c[][]=((LL)a[][]*b[][]+(LL)a[][])%P;
         c[][]=;
         return c;
     }
     F(k,,) F(i,,) F(j,,)
         c[i][j]=((LL)c[i][j]+(LL)a[i][k]*b[k][j]%P)%P;
     return c;
 }
 inline Matrix Pow(Matrix a,int b){
     Matrix c();
     F(i,,b) c=c*a;
     return c;
 }
 inline Matrix Power(Matrix a,char* s){
     Matrix r(); int l=strlen(s);
     D(i,l-,){
         if (s[i]-'') r=r*Pow(a,s[i]-'');
         a=Pow(a,);
     }
     return r;
 }
 char n[N],m[N];
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("3240.in","r",stdin);
     freopen("3240.out","w",stdout);
 #endif
     scanf("%s",n); scanf("%s",m);
     int l1=strlen(n)-;
     while(n[l1]=='') n[l1--]='';
     n[l1]--;
     l1=strlen(m)-;
     while(m[l1]=='') m[l1--]='';
     m[l1]--;
 //  printf("%s %s\n",n,m);
     int a,b,c,d;
     a=getint(); b=getint(); c=getint(); d=getint();
     v[][]=v[][]=; v[][]=v[][]=;
     s1[][]=a; s1[][]=; s1[][]=b; s1[][]=;
     s2[][]=c; s2[][]=; s2[][]=d; s2[][]=;
     Matrix s3=Power(s1,m);
     v=v*(Power(s3*s2,n)*s3);
     printf("%d\n",v[][]);
     return ;
 }

3240: [Noi2013]矩阵游戏

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MB
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Description

婷婷是个喜欢矩阵的小朋友,有一天她想用电脑生成一个巨大的n行m列的矩阵(你不用担心她如何存储)。她生成的这个矩阵满足一个神奇的性质：若用F[i][j]来表示矩阵中第i行第j列的元素，则F[i][j]满足下面的递推式:

F[1][1]=1
F[i,j]=a*F[i][j-1]+b (j!=1)
F[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1)
递推式中a,b,c,d都是给定的常数。

现在婷婷想知道F[n][m]的值是多少,请你帮助她。由于最终结果可能很大，你只需要输出F[n][m]除以1,000,000,007的余数。

Input

一行有六个整数n,m,a,b,c,d。意义如题所述

Output

包含一个整数，表示F[n][m]除以1,000,000,007的余数

Sample Input

3 4 1 3 2 6

Sample Output

85

HINT

样例中的矩阵为：

1 4 7 10

26 29 32 35

76 79 82 85

1<=N,M<=10^1000 000,a<=a,b,c,d<=10^9

Source

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