使用matlab进行傅里叶分析和滤波

傅里叶分析

公式法

下例是将振幅为1的5Hz正弦波和振幅为0.5的10Hz正弦波相加之后进行傅里叶分析。

clear all

N=512;

dt=0.02;

n=0:N-1;

t=n*dt;

x=sin(2*pi*5*t)+0.5*sin(2*pi*10*t);%生成和信号

%傅里叶变换

m = floor(N/2)+1;

a=zeros(1,m);

b=zeros(1,m);

for k=0:m-1

    for ii=0:N-1

        a(k+1) = a(k+1)+2/N*x(ii+1)*cos(2*pi*k*ii/N);

        b(k+1) = b(k+1)+2/N*x(ii+1)*sin(2*pi*k*ii/N);

    end

    c(k+1)=sqrt(a(k+1).^2+b(k+1).^2);

end

%傅里叶逆变换

if(mod(N,2) ~=1)

    a(m)=a(m)/2;

end

for ii=0:N-1

    xx(ii+1)=a(1)/2;

    for k=1:m-1

        xx(ii+1)=xx(ii+1)+a(k+1)*cos(2*pi*k*ii/N)+b(k+1)*sin(2*pi*k*ii/N);

    end

end

%绘图

subplot(3,1,1),plot(t,x,'LineWidth',2);title('原始信号'),xlabel('时间/s');

subplot(3,1,2),plot((0:m-1)/(N*dt),c,'LineWidth',2);title('傅里叶变换'),xlabel('频率/Hz');

subplot(3,1,3),plot((0:N-1)*dt,xx,'LineWidth',2);title('合成信号'),xlabel('时间/s');

运行结果如下所示：

快速傅里叶

matlab中的快速傅里叶有两种调用形式：

y=fft(x)。x是原始信号，y是变换之后的信号。y与x有相同的长度。
y=fft(x,N)。x，y定义如上，N是正整数，表示进行N点快速傅里叶变换。如果x长度小于N，则对x补零，使之与N相等；反则，则对x进行截取。

对应的逆变换有两种，分别为x=ifft(y)和x=ifft(y.N)。

一般而言，N点fft的结果y，在$n=N/2+1$处对应的频率为最高采样率的一半，y的后一半与前一半对称。

下例是将振幅为1的5Hz正弦波和振幅为0.5的10Hz正弦波相加之后进行傅里叶分析。

clc;clear;

fs=30;

N=512;

n=0:N-1;

t=n/fs;

x=sin(2*pi*5*t)+0.5*sin(2*pi*10*t);

%快速傅里叶

y=fft(x,N);

mag = abs(y);%振幅

ang = angle(y);%相位

f = n*fs/N;%横轴各点对应的频率值

%逆变换

xx = ifft(y);

xx = real(xx);%计算误差使得xx可能是复数，对其取实部得到信号

tt = [0:length(xx)-1]/fs;%横轴各点对应的时间

结果图省略。

滤波

利用快速傅里叶简单滤波

下例是将振幅为1的5Hz正弦波和振幅为0.5的10Hz正弦波相加之后，滤除8Hz以上的信号。

clc;clear;

fs=30;%采样率

N=256;

n=0:N-1;

t=n/fs;

dt=1/fs;

x=sin(2*pi*5*t)+0.5*sin(2*pi*10*t);

%快速傅里叶

y=fft(x,N);

mag = abs(y)*2/N;%振幅

ang = angle(y);%相位

f = n*fs/N;%横轴各点对应的频率值

%滤波

nn=length(y);

yy = zeros(1,nn);

for m=0:nn-1

    if(m/(nn*dt)>8)&(m/(N*dt)<(1/dt-8))

        yy(m+1)=0;

    else

        yy(m+1)=y(m+1);

    end

end

%逆变换

xx = ifft(yy);

xx = real(xx);%计算误差使得xx可能是复数，对其取实部得到信号

tt = [0:length(xx)-1]/fs;%横轴各点对应的时间

%绘图

subplot(2,1,1),plot(t,x,'LineWidth',2);title('原始信号'),xlabel('时间/s');

subplot(2,1,2),plot(tt,xx,'LineWidth',2);title('滤波后的信号'),xlabel('时间/s');

结果如下图

几个简单的函数

xi=filtic(B,A,ys)。B、A分别为系统z变换后的传递函数的分子和分母多项式的系数向量，ys是系统的初始输出状态，xi为对应的初始条件下输入序列。
yn0=filter(B,A,xn)。B、A定义同上，xn是系统的输入信号，yn0为系统的零状态响应。
yn=filter(B,A,xn,xi)。B、A、xn、xi定义同上，yn为系统全响应。

模拟滤波器

以巴特沃斯低通滤波器为例，说明调用方法。

[btt1,ctt1] = butter(N,wn,'s');%1.调用函数生成滤波器系数

H = [tf(btt1,ctt1)];%滤波器的传递函数

t = (0:n-1)./fs;%时域信号横轴的坐标，n为长度，fs为采样率

s1 = lsim(H,a1,t);%2.滤波

说明：

[btt1,ctt1] = butter(N,wn,'s');。N是滤波器的阶数，wn是截止频率（是弧度值，如果截止频率要求为500Hz，则$wn=5002\pi$）。可以直接给定，亦可以根据参数由buttord`函数计算得到。's'表示模拟滤波器。btt1、ctt1分别表示滤波器在拉普拉斯域中传递函数的分子、分母多项式的系数。
s1 = lsim(H,a1,t)。H是模拟滤波器的传递函数，a1表示待滤波信号，t是信号的横坐标，s1是滤波后的信号。

其他说明：

这里仅以低通滤波器为例，其他巴特沃斯滤波器如高通、带通、带阻调用方式类似，只是函数butter的参数略有不同，请参看matlab关于butter函数的介绍。（在matlab中执行help butter)
其他滤波器，如椭圆滤波器等，使用方式类似，只是函数名称不同。

数字滤波器