解北大OJ1088滑雪问题的记录

问题：

Time Limit:1000MS		Memory Limit:65536K
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Description

Michael 喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个 区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子

1  2  3  4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

Input

输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。

Output

输出最长区域的长度。

Sample Input

5 5

1 2 3 4 5

16 17 18 19 6

15 24 25 20 7

14 23 22 21 8

13 12 11 10 9

Sample Output

25

Source

SHTSC 2002

示意图如下：

图一

思路一：从每个高度开始，不断搜索路径，直到局部极小处。然后找出最大值。但这种方式会导致搜索重复的路径。

思路二：可用动态规划，剔除思路一中需要重复搜索的路径，大大减少搜索次数。

{动态规划的经典的例子为找两城市之间的最短路径。

图二

从A到F的所有路径穿过图中串着E和D的竖线，假设E在最短路径上，那么从A到E的路径也应该选最短的，否则将有另外一条较短的从A到E的路径A’—>E’->F更短；往前推，从A到E的路径穿过B和C，假设B在最短路径上，那么从A到B的路径也应该选最短的，从A到E的一条可能最短路径为从A到B的最短路径+B和E之间的距离。C和D点同理。

因此，从A点出发，先得出A->B和A->C的最短路径，然后再得出A->E和A->D的最短路径，最后得出A->F的最短路径。

如图，在得到A->B和A->C的最短路径后，求A->E和A->D的最短路径时，减少了A->B和A->C的两次搜索。在得到A->E的最短路径时，剔除了A->B->E,在得到A->D的最短路径时，剔除了A->C->D，这样在得到A->F的最短路径时，又减少了两次搜索。而且减少的搜索次数是同节点个数N成正比的。通过记录逐段的搜索结果，达到减少搜索次数的目的。}

因此此题可以按照高度值，从高到低，逐次求得到达每个点的最长滑坡，最后再求出最长的滑坡。如图一，从A点到E点的最长滑坡为A->F->E.A点能影响到达F点和E点的最长滑坡，而F点也能影响到达E点的最长滑坡，因此当高度从A点变为F点时，到达E点的最长滑坡已经能知道应该从A->E改为A->F->E.假设从E点到B点还有其他路径的话，那么从A到E点的最长滑坡的确定就能减少搜索次数。时间复杂度为O(n)。

例如：

input

2 3

2 5 3

6 1 2

Output

求解过程为：

1.1、2、2、3、5、6各点初始化滑坡长度值为1；

2.6影响上面的2和右面的1，使他们的长度值分别加1变为2；

3.5影响右面的3，使其长度值加1变为2；

4.3影响下面的2，使其长度值加2变为3；

5.6上面的2处于局部极小（谷底）不影响；

6.3下面的2影响左面的1，使其长度值加3变为4；

7.1处于局部极小（谷底）不影响。

得到最大值为4.

附录：

这是我在北大OJ里提交的AC源代码，但是在Time和Memory方面还有待提高。其中在判断某点四个方向上的情况时，并未有效减少对于不可能的方向的情况的判断，而且代码看起来冗余。用一维数组表示的二维数组，动态分配的内存。说来也比较巧，当我做完后，在网上搜索了下，发现有些人的代码跟我的几乎差不多。

Source Code

Problem:1088		User:lilin_xuebao
Memory:508K		Time:32MS
Language:G++		Result:Accepted

· Source Code

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

struct H

{

int height;

int length;

};

int cmp(const void *key,const void *data)

{

if((*(struct H**)key)->height < (*(struct H**)data)->height)

return 1;

return -1;

}

int main()

{

int rows=0,columns=0;

struct H * array=NULL;

struct H **temp=NULL;

int total;

scanf("%d%d",&rows,&columns);

total=rows*columns;

array=(struct H*)malloc(sizeof(struct H)*total);

temp=(struct H**)malloc(sizeof(struct H *)*total);

if(array == NULL||temp==NULL)return 0;

int i;

for(i=0;i<total;i++)

{

scanf("%d",&(array[i].height));

array[i].length=1;

temp[i]=&array[i];

}

qsort(temp,total,sizeof(struct H*),cmp);

int up,down,left,right;

int tempindex;

int max=-1;

for(i=0;i<total;i++)

{

tempindex=temp[i]-array;

up=tempindex-columns;

down=tempindex+columns;

left=tempindex-1;

right=tempindex+1;

if(up>=0&&array[tempindex].height>array[up].height)

{

if(array[tempindex].length+1>array[up].length)

{

array[up].length=array[tempindex].length+1;

}

}

if(down<total&&array[tempindex].height>array[down].height)

{

if(array[tempindex].length+1>array[down].length)

{

array[down].length=array[tempindex].length+1;

}

}

if((left+1)%columns!=0&&array[tempindex].height>array[left].height)

{

if(array[tempindex].length+1>array[left].length)

{

array[left].length=array[tempindex].length+1;

}

}

if(right%columns!=0&&array[tempindex].height>array[right].height)

{

if(array[tempindex].length+1>array[right].length)

{

array[right].length=array[tempindex].length+1;

}

}

if(array[tempindex].length>max)max=array[tempindex].length;

}

printf("%d",max);

free(array);

free(temp);

return 0;

}