HNOI2008Cards

看了一下polya和burnside定理，感觉还行（就是不会证……）

这题用的是burnside

ans=在每个置换群下不动的方案数之和除以置换数

这题有个难点在取模

关于对p（p为素数）取模（涉及到了除法），我总结了两种方法：

已知x mop p=y，要求x/z mod p=？

大体思路是利用乘法逆，将/z转换成*z的逆元即可

一、利用费马小定理

z^p-1 mod p=1

所以z的逆元=power_mod（z,p-2,p）

二、利用拓展欧几里德算法，即exgcd（z，p，x，y）

while x<0 do inc(x,p)

事实上，这也是乘法逆的思想

exgcd（z，p，x，y） 这实际上是在解同余方程zx mod p=1

x不就是z的逆元吗

但是当p不是素数时，应该怎么办呢？

在做noi2002robot的时候，我运用了一种特殊的方法，最后需要求x>>1 mod p=?

我在过程中始终对p取模，到最后感觉做不下去了

后来我灵机一动，想到了多取一位 在过程中mod 10p

这样 最后输出的时候再mod p 答案就正确了

不知道这样的方法能否应用在更广泛的地方……

ps:刚才试了一下此题

在过程中一直对m*p取模，最后ans div m 再对p取模，竟然AC了

原理在哪里？

代码：

神牛Green Clouds 的代码（费马小定理）：

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>

 using namespace std ;

 const int maxn =;

 int sr , sb , sg , m , mod , f[ maxn ][ maxn ][ maxn ], a[ maxn *], n ;
 bool used[ maxn *];
 int v[ maxn *], cnt , ans =;

 void update(int&num ,int val ){
     ( num += val )%= mod ;
 }

 int power(int val ,int times ){
     int rec =;
     for(; times ; times >>=){
         if( times &)( rec *= val )%= mod ;
         ( val *= val )%= mod ;
     }
     return rec ;
 }

 int main(  ){
     scanf("%d%d%d%d%d",&sr ,&sb ,&sg ,&m ,&mod );
     n = sr + sb + sg ;
     for(int w =; w ++< m +;){
         if( w < m +)for(int i =; i ++< n ;)scanf("%d", a + i );
         else for(int i =; i ++< n ;) a[ i ]= i ;
         memset( used ,false,sizeof( used ));
         cnt =;
         for(int i =; i ++< n ;)if(! used[ i ]){
             v[++ cnt ]=;
             for(int j = i ;! used[ j ]; j = a[ j ]){
                 ++ v[ cnt ], used[ j ]=true;
             }
         }
         memset( f ,,sizeof( f ));
         f[][][]=;
         for(int h =; h ++< cnt ;){
             for(int i = sr ; i >=;-- i ){
                 for(int j = sb ; j >=;-- j ){
                     for(int k = sg ; k >=;-- k ){
                         if( i >= v[ h ])update( f[ i ][ j ][ k ], f[ i - v[ h ]][ j ][ k ]);
                         if( j >= v[ h ])update( f[ i ][ j ][ k ], f[ i ][ j - v[ h ]][ k ]);
                         if( k >= v[ h ])update( f[ i ][ j ][ k ], f[ i ][ j ][ k - v[ h ]]);
                     }
                 }
             }
         }
         update( ans , f[ sr ][ sb ][ sg ]);
     }
     ( ans *=power( m +, mod -))%= mod ;
     printf("%d\n", ans );
     return ;
 }

exgcd：

 var s1,s2,s3,n,m,p,ans,i,j,x,y:longint;
     a:array[..,..] of longint;
     f:array[..,..,..] of longint;
 function mo(x:longint):longint;
  begin
    mo:=x mod (p);
  end;
 procedure init;
  begin
    readln(s1,s2,s3,m,p);
    n:=s1+s2+s3;
    for i:= to m do
     for j:= to n do
      read(a[i,j]);
    inc(m);
    for i:= to n do a[m,i]:=i;
  end;
 function dp(x:longint):longint;
  var i,j,k,tot,y,h,num:longint;
      v:array[..] of boolean;
      d:array[..] of longint;
  begin
    tot:=;
    fillchar(v,sizeof(v),false);
    for i:= to n do
     if not(v[i]) then
      begin
        num:=;
        v[i]:=true;
        y:=i;
        while a[x,y]<>i do
         begin
          y:=a[x,y];
          v[y]:=true;
          inc(num);
         end;
        inc(tot);
        d[tot]:=num;
      end;
    fillchar(f,sizeof(f),);
    f[,,]:=;
    for h:= to tot do
     for i:=s1 downto  do
      for j:=s2 downto  do
       for k:=s3 downto  do
        begin
         if i>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i-d[h],j,k]);
         if j>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j-d[h],k]);
         if k>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j,k-d[h]]);
        end;
    exit(f[s1,s2,s3]);
    end;
 procedure exgcd(a,b:longint;var x,y:longint);
  var t:longint;
  begin
  if a= then begin x:=;y:=;exit;end;
  exgcd(b,a mod b,x,y);
  t:=x;x:=y;y:=t-(a div b)*x;
  end;
 procedure main;
  begin
    ans:=;
    for i:= to m do
     ans:=mo(ans+dp(i));
    exgcd(m,p,x,y);
    while x< do inc(x,p);
    writeln((ans*x) mod p);
  end;
 begin
   init;
   main;
 end.         

m*p：

 var s1,s2,s3,n,m,p,ans,i,j,x,y:longint;
     a:array[..,..] of longint;
     f:array[..,..,..] of longint;
 function mo(x:longint):longint;
  begin
    mo:=x mod (m*p);
  end;
 procedure init;
  begin
    readln(s1,s2,s3,m,p);
    n:=s1+s2+s3;
    for i:= to m do
     for j:= to n do
      read(a[i,j]);
    inc(m);
    for i:= to n do a[m,i]:=i;
  end;
 function dp(x:longint):longint;
  var i,j,k,tot,y,h,num:longint;
      v:array[..] of boolean;
      d:array[..] of longint;
  begin
    tot:=;
    fillchar(v,sizeof(v),false);
    for i:= to n do
     if not(v[i]) then
      begin
        num:=;
        v[i]:=true;
        y:=i;
        while a[x,y]<>i do
         begin
          y:=a[x,y];
          v[y]:=true;
          inc(num);
         end;
        inc(tot);
        d[tot]:=num;
      end;
    fillchar(f,sizeof(f),);
    f[,,]:=;
    for h:= to tot do
     for i:=s1 downto  do
      for j:=s2 downto  do
       for k:=s3 downto  do
        begin
         if i>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i-d[h],j,k]);
         if j>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j-d[h],k]);
         if k>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j,k-d[h]]);
        end;
    exit(f[s1,s2,s3]);
    end;
 procedure main;
  begin
    ans:=;
    for i:= to m do
     ans:=mo(ans+dp(i));
    writeln((ans div m) mod p);
  end;
 begin
   init;
   main;
 end.