【UOJ#75】【UR #6】智商锁（矩阵树定理，随机）

【UOJ#75】【UR #6】智商锁（矩阵树定理，随机）

题面

UOJ

题解

这种题我哪里做得来啊[惊恐]，，，

题解做法：随机\(1000\)个点数为\(12\)的无向图，矩阵树定理算出它的生成树个数，然后找到四张图不拼接直接放在一起，也就是找到四个图，假设其生成树个数是\(f(G)\)，那么就找到\(f(G_1)f(G_2)f(G_3)f(G_4)\equiv k\)，然后预处理两两的乘积，丢到哈希表/\(\text{map}\)里，枚举另外一半直接查。。。

无向图的生成方式是每条边出现的概率是\(0.8\)。然后\(rand\)的时候确保图连通。

还需要再特判一下\(k=0\)的情况。

然后概率的证明直接蒯题解吧。。。

首先我们随机无向图的方法是每一条边生成的概率都是\(0.8\)，而\(12\)个点的完全图的生成树个数是\(12^{10}\)，这是远大于模数的，所以我们可以近似地把\(f_i\)看做均匀分布的随机数（这个和我们平时写的哈希表的思想类似）。接下来我们把这\(1000\)个随机数的集合四次方再模上模数，这样我们就得到了\(10^{12}\)个数，和刚才同理，我们也可以把这\(10^{12}\)个数给近似地看成均匀分布的随机数。

接下来我们要求的是\(10^{12}\)个小于等于\(10^9\)的随机数完全覆盖\(0\)到\(10^9\)之间所有数的概率是多少。首先一个数被覆盖的概率是\(1-(1-\frac{1}{10^9})^{10^{12}} \approx 1-\mathrm{e}^{-10^3}\)，我们可以近似地认为所有数都被覆盖的概率是\((1-\mathrm{e}^{-10^3})^{10^9}\)，实际上这个数是非常接近\(1\)的（因为\(e^{10^3}\)比\(10^9\)大到哪里去都不知道了）

打不过打不过。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
#define MOD 998244353
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
struct Graph
{
	int g[15][15],a[15][15],T,edge;
	void Calc()
	{
		T=1;
		for(int i=2;i<=12;++i)
		{
			for(int j=i+1;j<=12;++j)
				while(a[j][i])
				{
					int t=a[i][i]/a[j][i];
					for(int k=i;k<=12;++k)a[i][k]=(a[i][k]+MOD-1ll*a[j][k]*t%MOD)%MOD;
					for(int k=i;k<=12;++k)swap(a[i][k],a[j][k]);
					T=MOD-T;
				}
		}
		for(int i=2;i<=12;++i)T=1ll*T*a[i][i]%MOD;T=(T+MOD)%MOD;
	}
	void Add(int u,int v){++edge;g[u][v]=g[v][u]=1;a[u][v]--;a[v][u]--;a[u][u]++;a[v][v]++;}
	void Rand()
	{
		for(int i=2;i<=12;++i)Add(rand()%(i-1)+1,i);
		for(int i=1;i<=12;++i)
			for(int j=i+1;j<=12;++j)
				if(!g[i][j]&&rand()%10<8)
					Add(i,j);
		Calc();
	}
	void Output(int N)
	{
		for(int i=1;i<=12;++i)
			for(int j=i+1;j<=12;++j)
				if(g[i][j])printf("%d %d\n",N+i,N+j);
	}
}G[1010];
pair<int,int> a[1010101];
int S[1010101],tot;
map<int,pair<int,int> >M;
void Output(int a,int b,int c,int d)
{
	printf("48 %d\n",G[a].edge+G[b].edge+G[c].edge+G[d].edge+3);
	G[a].Output(0);G[b].Output(12);G[c].Output(24);G[d].Output(36);
	printf("1 13\n13 25\n25 37\n");
}
int main()
{
	for(int i=1;i<=1000;++i)G[i].Rand();
	for(int i=1;i<=1000;++i)
		for(int j=i;j<=1000;++j)
			++tot,M[S[tot]=1ll*G[i].T*G[j].T%MOD]=a[tot]=make_pair(i,j);
	int T=read();
	while(T--)
	{
		int K=read();if(!K){puts("2 0");continue;}
		for(int i=1;i<=tot;++i)
		{
			int v=1ll*K*fpow(S[i],MOD-2)%MOD;
			if(M.find(v)!=M.end())
			{
				Output(a[i].first,a[i].second,M[v].first,M[v].second);
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}