http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1565

题意:中文。

思路:一个棋盘,要使得相邻的点不能同时选,问最大和是多少,这个问题就是最大点权独立集。

可以转化为所有的点权 - 最小点权覆盖集(最小割) = 最大点权独立集。

转载两个的定义:这里

覆盖集(vertex covering set,VCS)是无向图的一个点集,使得该图中所有边都至少有一个端点在该集合内。形式化的定义是点覆盖集为G'VV∈(,)uvE∀∈,满足对于,都有 或成立,即,'uV∈'vV∈'uV∈'vV∈至少一个成立。形象地说是若干个点“覆盖”住了 与它们邻接的边,这些边恰好组成了原边集。

点独立集(vertex independent set,VIS)是无向图的一个点集,使得任两个在该集合中的点在原图中都不相邻。或者说是导出子图为零图(没有边)的点集。形式化的定义是点独立集为,满足对于,都有G'VV∈,'uvV∀∈(,)uvE∉成立。点独立集还有一种等价的定义:点独立集为,满足对于,都有'VV∈'uV∈'vV∈(,)uvE∀∈与不同时成立。

从覆盖集的定义可以看出,求覆盖集就是求最小割(最大流),这个最小点权覆盖集不是S集合就是T集合,最大权独立集就是最小点权覆盖集的补集。

因此把棋盘通过黑白染色:

设一种颜色和S相连(容量为点权),然后用这种颜色去连接相邻另一种颜色(容量为INF),另一种颜色和T相连(容量为点权)。

 #include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
#define N 510
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long LL;
struct Edge {
int v, nxt, cap;
Edge () {}
Edge (int v, int nxt, int cap) : v(v), nxt(nxt), cap(cap) {}
} edge[N*N];
int head[N], tot, dis[N], cur[N], pre[N], gap[N], n, mp[][], dx[] = {, , , -}, dy[] = {, -, , }; bool check(int x, int y) {
if( <= x && x <= n && <= y && y <= n) return true;
return false;
} void Add(int u, int v, int cap) {
edge[tot] = Edge(v, head[u], cap); head[u] = tot++;
edge[tot] = Edge(u, head[v], ); head[v] = tot++;
} int BFS(int S, int T) {
queue<int> que; que.push(T);
memset(dis, INF, sizeof(dis));
memset(gap, , sizeof(gap));
gap[]++; dis[T] = ;
while(!que.empty()) {
int u = que.front(); que.pop();
for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].v;
if(dis[v] == INF) {
dis[v] = dis[u] + ;
gap[dis[v]]++;
que.push(v);
}
}
}
} LL ISAP(int S, int T, int n) {
BFS(S, T);
memcpy(cur, head, sizeof(cur));
int u = pre[S] = S, i, index, flow; LL ans = ;
while(dis[S] < n) {
if(u == T) {
flow = INF, index = S; // index = S !!!
for(i = S; i != T; i = edge[cur[i]].v)
if(flow > edge[cur[i]].cap) flow = edge[cur[i]].cap, index = i;
for(i = S; i != T; i = edge[cur[i]].v)
edge[cur[i]].cap -= flow, edge[cur[i]^].cap += flow;
ans += flow, u = index;
}
for(i = cur[u]; ~i; i = edge[i].nxt)
if(edge[i].cap > && dis[edge[i].v] == dis[u] - ) break;
if(~i) {
pre[edge[i].v] = u; cur[u] = i; u = edge[i].v;
} else {
if(--gap[dis[u]] == ) break;
int md = n;
for(i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt)
if(md > dis[edge[i].v] && edge[i].cap > ) md = dis[edge[i].v], cur[u] = i;
gap[dis[u] = md + ]++;
u = pre[u];
}
}
return ans;
} int main() {
while(~scanf("%d", &n)) {
memset(head, -, sizeof(head)); tot = ;
int S = , T = n * n + ; LL sum = ;
for(int i = ; i <= n; i++) for(int j = ; j <= n; j++) scanf("%d", &mp[i][j]), sum += mp[i][j];
for(int i = ; i <= n; i++) {
for(int j = ; j <= n; j++) {
if((i + j) % ) Add(S, (i - ) * n + j, mp[i][j]);
else Add((i - ) * n + j, T, mp[i][j]);
for(int k = ; k < ; k++) {
int nx = i + dx[k], ny = j + dy[k];
if(check(nx, ny) && (i + j) % ) Add((i - ) * n + j, (nx - ) * n + ny, INF);
}
}
}
printf("%lld\n", sum - ISAP(S, T, T + ));
}
return ;
}

点覆盖集

vertex covering set

VCS

)是无向图

的一个点集,使得该图中所有边都至少

有一个端点在该集合内。形式化的定义是点覆盖集为

G

'

V

V

(

,

)

u

v

E

,满足对于

,都有

成立,即

'

u

V

'

v

V

'

u

V

'

v

V

至少一个成立。形象地说是若干个点“覆盖”住了

与它们邻接的边,这些边恰好组成了原边集。

点独立集

vertex independent set

VIS

)是无向图

的一个点集,使得任两个在该集合中

的点在原图中都不相邻。或者说是导出子图为零图(没有边)的点集。形式化的定义是点独

立集为

,满足对于

,都有

G

'

V

V

,

'

u

v

V

(

,

)

u

v

E

成立。点独立集还有一种等价的定义:

点独立集为

,满足对于

,都有

'

V

V

'

u

V

'

v

V

(

,

)

u

v

E

不同时成立。

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