xdoj-1057(Lucas定理的证明及其模板）

Lucas定理的证明： 转自百度百科（感觉写的还不错）

首先你需要这个算式:

  

,其中f > 0&& f < p，然后

(1 + x) ⁿΞ(1 + x) ^sp+q Ξ( (1 + x)^p)^s· (1 + x) ^q Ξ(1 + x^p) ^s· (1 + x) ^q(mod p) 

　　

  

（modp)

所以得(1 + x) ^sp+q 

 

(mod p)
　　

我们求右边的

  

的系数为：

求左边的

  

为：

通过观察你会发现当且仅当i = t , j = r ,能够得到

  

的系数，即
　　

 

　

所以

得证。

 Lucas定理模板

 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cstdio>
 typedef long long LL;
 const LL mod = ;
 LL fac[mod+];
 LL n,m;
 LL q_pow (LL x,LL k) {
     LL ans=;
     while (k) {
         if (k&) ans=ans*x%mod;
         k=k>>;
         x=x*x%mod;
     }
     return ans;
 }
 LL C (LL x,LL y) {
     if (y>x)  return ;// 重要
     LL t1=fac[x];
     LL t2=fac[x-y]*fac[y]%mod;
     return t1*q_pow(t2,mod-)%mod;
 }
 LL Lucas (LL x,LL y) {
     if (y==) return ;//递归出口
     return C (x%mod,y%mod)*Lucas (x/mod,y/mod)%mod;
 }
 int main ()
 {
     fac[]=;//一定不要忘了0
     for (int i=;i<=mod;i++)
         fac[i]=fac[i-]*i%mod;
     while (~scanf ("%lld %lld",&n,&m))
         printf ("%lld\n",Lucas(m+n-,n-));// （多重集合取组合数）
     return ;
 }