BZOJ1494 [NOI2007]生成树计数

题意

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Problem 1494. -- [NOI2007]生成树计数

1494: [NOI2007]生成树计数

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Description

最近，小栋在无向连通图的生成树个数计算方面有了惊人的进展，他发现：

·n个结点的环的生成树个数为n。

·n个结点的完全图的生成树个数为n^(n-2)。这两个发现让小栋欣喜若狂，由此更加坚定了他继续计算生成树个数的

想法，他要计算出各种各样图的生成树数目。一天，小栋和同学聚会，大家围坐在一张大圆桌周围。小栋看了看，

马上想到了生成树问题。如果把每个同学看成一个结点，邻座（结点间距离为1）的同学间连一条边，就变成了一

个环。可是，小栋对环的计数已经十分娴熟且不再感兴趣。于是，小栋又把图变了一下：不仅把邻座的同学之间连

一条边，还把相隔一个座位（结点间距离为2）的同学之间也连一条边，将结点间有边直接相连的这两种情况统称

为有边相连，如图1所示。

小栋以前没有计算过这类图的生成树个数，但是，他想起了老师讲过的计算任意图的生成树个数的一种通用方法：

构造一个n×n的矩阵A={aij},其中

其中di表示结点i的度数。与图1相应的A矩阵如下所示。为了计算图1所对应的生成数的个数，只要去掉矩阵A的最

后一行和最后一列，得到一个(n-1)×(n-1)的矩阵B，计算出矩阵B的行列式的值便可得到图1的生成树的个数所以

生成树的个数为|B|=3528。小栋发现利用通用方法，因计算过于复杂而很难算出来，而且用其他方法也难以找到更

简便的公式进行计算。于是，他将图做了简化，从一个地方将圆桌断开，这样所有的同学形成了一条链，连接距离

为1和距离为2的点。例如八个点的情形如下：

这样生成树的总数就减少了很多。小栋不停的思考，一直到聚会结束，终于找到了一种快捷的方法计算出这个图的

生成树个数。可是，如果把距离为3的点也连起来，小栋就不知道如何快捷计算了。现在，请你帮助小栋计算这类

图的生成树的数目。

Input

包含两个整数k,n，由一个空格分隔。k表示要将所有距离不超过k（含k）的结点连接起来，n表示有n个结点。

Output

输出一个整数，表示生成树的个数。由于答案可能比较大，所以你 只要输出答案除65521 的余数即可。

Sample Input

3 5

Sample Output

75

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分析

参照xyz32768的题解。

定义状态： \(f[i][S]\)表示\(i\)个点的图，编号差\(≤k\)的点对之间有连边，现选出一些边，连通第\(1\)个点到第\(i−k\)个点，第\(i−k+1\)个点到第\(i\)个点的连通性为\(S\)，第\(i−k+1\)个点到第\(i\)个点至少存在一点与前\(i−1\)个点连通，且选出的边无环的方案数。

注意这里的\(S\)压缩连通性使用的是最小表示法： 对连通块进行标号，从\(1\)到连通块个数，首次出现位置越靠前的连通块编号越小。

会发现有效\(S\)的个数是贝尔数，即第二类斯特林数的前缀和。 \(k=5\)时状态数只有\(52\) 。

如何求\(f[i+1][T]\)从\(f[i][S]\)的转移系数呢？
我们可以对于一个\(S\)，\(2^k\)枚举第\(i−k+1\)个点到第\(i\)个点是否与\(i+1\)连边，大力计算即可。
但要注意：

1. 如果第\(i−k+1\)个点在第\(i−k+1\)到第\(i\)个点中单独属于一个连通块，那么\(i−k+1\)和\(i+1\)间必须连边，否则不能保证「连通前\(i−k+1\)个点」。
2. 不能由\(i\)连向第\(i−k+1\)个点到第\(i\)个点中的同一个连通块，否则会形成环。

发现转移系数不变且为一阶，因此直接上矩阵快速幂。

代码

参照Icefox_zhx的代码。dfs写有许多好处。

我们可以先用一个DFS预处理出所有可能出现的连通性的状态。然后再枚举连通性状态S以及下一个点和S里的K个点中的哪些点连边，再判断从连通性状态S转移出来的新状态S′是否是合法的，若合法，在邻接矩阵里，标记从S到S′的方案数加1.

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;
using namespace std;

co int M=7,N=60,mod=65521;
int m;ll n;
int temp[M],sta[N][M],tot,ini[N];
void init_sta(int id){  //预处理所有状态的初始种类数
    static int cnt[M];
    memset(cnt,0,sizeof cnt);
    for(int i=1;i<=m;++i) ++cnt[sta[id][i]];
    ini[id]=1;
    for(int i=1;cnt[i];++i)if(cnt[i]>2) ini[id]*=pow(cnt[i],cnt[i]-2);
    //n个点的完全图的生成树个数为n^(n-2)个
}
void dfs_sta(int i,int x){ //前i-1个点分成了x个连通块
    if(i==m+1) return memcpy(sta[++tot],temp,sizeof temp),init_sta(tot);
    for(int j=1;j<=x+1;++j) temp[i]=j,dfs_sta(i+1,max(j,x));
}

struct matrix{
    int a[N][N];
    il int*operator[](int x){return a[x];}
    il co int*operator[](int x)co{return a[x];}
    matrix operator*(co matrix&b)co{
        matrix c;
        memset(c.a,0,sizeof c.a);
        for(int i=1;i<=tot;++i)
            for(int j=1;j<=tot;++j)
                for(int k=1;k<=tot;++k)
                    c[i][j]=(c[i][j]+(ll)a[i][k]*b[k][j])%mod;
        return c;
    }
    matrix operator^(ll k){
        matrix x=*this,re;
        memset(re.a,0,sizeof re.a);
        for(int i=1;i<=tot;++i) re[i][i]=1;
        for(;k;k>>=1,x=x*x)
            if(k&1) re=re*x;
        return re;
    }
}trans;
bool f[M],edge[M]; //f[i]:i连通块是否已连过，edge[i]:i位置是否连边了
bool issame(int a[],int b[]){
    for(int i=1;i<=m;++i)
        if(a[i]!=b[i]) return 0;
    return 1;
}
void get_tra(int id){ //求sta[id]此时转移到的状态a
    static int a[M];
    memcpy(a,sta[id],sizeof a);
    for(int i=1;i<=m;++i)if(edge[i]){
        if(a[m+1]==0) a[m+1]=a[i];
        else for(int x=a[i],j=1;j<=m;++j)if(a[j]==x) a[j]=a[m+1];
    }
    for(int i=1;i<=m;++i) a[i]=a[i+1]; //把状态往前挪一个
    static int num[M],cnt;
    memset(num,0,sizeof num),cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;++i){ //重新标号，使得满足最小表示法
        if(!num[a[i]]) num[a[i]]=++cnt;
        a[i]=num[a[i]];
    }
    for(int i=1;i<=tot;++i)if(issame(a,sta[i]))
        return ++trans[id][i],void();
}
void dfs_tra(int id,int i){
    if(i==m+1) return get_tra(id);
    dfs_tra(id,i+1);
    if(!f[sta[id][i]]){
        f[sta[id][i]]=1,edge[i]=1;
        dfs_tra(id,i+1);
        f[sta[id][i]]=0,edge[i]=0;
    }
}
int main(){
//  freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout);
    read(m),read(n);
    dfs_sta(1,0); //预处理出k个点的所有连接状态,用最小表示法表示，以及每种状态的初始种类数
    for(int i=1;i<=tot;++i){
        memset(f,0,sizeof f);
        memset(edge,0,sizeof edge);
        bool flag=1;
        for(int j=2;j<=m;++j)
            if(sta[i][j]==1) {flag=0;break;}
        if(flag) f[1]=1,edge[1]=1,dfs_tra(i,2); //1必须连这个了。
        else dfs_tra(i,1);
    }
    trans=trans^(n-m);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=tot;++i) ans=(ans+(ll)trans[i][1]*ini[i])%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}