luogu题解P4198楼房重建--线段树神操作

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4198

分析

一句话题意,一条数轴上有若干楼房,坐标为\(xi\)的楼房有高度\(hi\),那么它的斜率为\(hi/xi\),操作包含单元素高度修改,动态询问最长上升斜率序列个数

一开始想什么分治或是离线操作之类的,却因为水平低并不会做,看了题解居然发现就是线段树!看了一下感觉真妙啊,线段树真是个神奇的数据结构

线段树维护两个东西\(sum[now],mx[now]\);

\(sum[now]\)是\(now\)管辖区间\([l,r]\)的最长上升斜率个数

类似的\(mx[now]\)就是那个区间最大斜率,也就是最长上升序列中最右边的

我们假设更新操作递归到\([L,R]\)区间,设\(p\)为\([L,mid]\)区间最大斜率

\(mx[now<<1]\)

那么\([L,R]\)区间的贡献\((sum[now])\)显然等于\([L,mid]\)区间贡献\((sum[now<<1])\) \(+\) 统计\([mid+1,R]\)区间中大于\(p\)的最长上升序列个数.

那么怎么计算\([mid+1,R]\)区间中的大于\(p\)的最长上升序列个数呢,这个我在代码中给出了详细的注释

代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define ll long long
#define ri register int
using std::min;
using std::max;
template <class T>inline void read(T &x){
	x=0;int ne=0;char c;
	while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
	x=c-48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
	x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=100005;
const int inf=0x7fffffff;
int n,m,t;
double dta,p;
struct Segment_Tree{
	int sum[maxn<<2];//指now管辖的区间内最长上升序列个数
	double mx[maxn<<2];//指now管辖区间内最大斜率
	int calc(int now,int l,int r){
		if(l==r) return mx[now]>p;
		int mid=(l+r)>>1;
		if(mx[now<<1]<=p)return calc(now<<1|1,mid+1,r);//如果左区间的最大值小于p，那么左区间贡献为0,计算右区间贡献
		return sum[now]-sum[now<<1]+calc(now<<1,l,mid);
		//如果左区间有贡献,那么右边的不用管,因为sum[now]中本来就是递归到这里时[l,r]区间内最长上升序列个数
		//如果左区间已有了贡献,说明左区间存在大于p的值,那么右区间计入sum[now]中的斜率肯定也能对现在答案产生贡献
		//但是左区间中有些对sum[now]产生贡献的斜率此时可能小于p,因此答案就是右区间贡献+递归处理左区间贡献
		//右区间贡献就是sum[now]-sum[now<<1]
	}
	void update(int now,int l,int r){
		if(l==r){
			mx[now]=dta;
			sum[now]=1;
			return ;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		if(t<=mid)update(now<<1,l,mid);
		else update(now<<1|1,mid+1,r);
		mx[now]=max(mx[now<<1],mx[now<<1|1]);
		p=mx[now<<1];//左区间最大值
		sum[now]=sum[now<<1]+calc(now<<1|1,mid+1,r);//计算右区间贡献
		return ;
	}
}T;
int main(){
    int x;
	read(n),read(m);
	while(m--){
		read(t),read(x);
		dta=(double)x/t;
		T.update(1,1,n);
		printf("%d\n",T.sum[1]);
	}
	return 0;
}