洛谷 P3909 异或之积 题解

原题链接

本人看了其它解法，发现本人的解法还是 首创 ！

而且我的解法好像和 \(\times 6\) 没什么关系 ……

（如果没 \(\times 6\)，我没还不用算逆元）

别人的思路呢，大都是从 \(\times 6\) 想到三个数的全排列，然后交换顺序枚举。

下面看我的方法。

先抛开 \(\times 6\).

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \sum_{k=j+1}^n a_i \times a_j \times a_k
\]

\[= \sum_{j=1}^n a_j \times (\sum_{i=1}^{j-1} a_i \times \sum_{k=j+1}^n a_k)
\]

你可能不太明白？但是，今天的推式子很短，你必须步步理解。

实际上，这步是考虑中间数被计算的次数。对它前面的所有数之和和后面数之和，它都会被计算。

根据 乘法原理 ，就可以得到。

我们想到了前缀和：

\[s_i = \sum_{j=1}^i a_j
\]

那么，显然：

\[= \sum_{j=1}^n a_j \times s_{j-1} \times (s_n - s_j)
\]

直接枚举解决问题。

时间复杂度： \(O(n)\).

实际得分：\(100pts\).

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

inline ll read(){char ch=getchar();int f=1; while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')f=-f; ch=getchar();}
ll x=0;while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

const ll N=1e6+1;
const int MOD=1e9+7;

int n; ll a[N];
ll f[N],s[N];
//f[i]=a[i]*(s[n]-s[i])

inline ll solve(ll x) {
	return (x<0)?(x+MOD):x;
}

int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),s[i]=(s[i-1]+a[i])%MOD;
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=((a[i]*solve(s[n]-s[i])%MOD)*(s[i-1]))%MOD;
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[i])%MOD;
	// for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d %lld\n",i,f[i]);
	printf("%lld\n",(ans*6)%MOD);
	return 0;
}