Luogu P3389 高斯消元

https://www.luogu.com.cn/problem/P3389

主元消元法【模板】

高斯消元是解决多元线性方程组的方法，再学习它之前，先引入一个东西——行列式

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行列式的性质：

这里我们只说其中的两条：

①行列式中的一行，加上另一行的\(k\)倍，行列式的值不变

②交换行列式的两行，行列式的值会变为原来的相反数

每一个有唯一解的线性方程，都拥有一个与其对应的行列式

//如果想详细学习行列式，可以自行上网百度~

目的：为了方便求解，利用①性质，我们可以把它消成上三角行列式（矩阵的对角线的左下方都是\(0\)），其实通俗来讲，就是平时我们学的加减消元法

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具体步骤：

①枚举\(1-n\)行

②用第i行的第i列（对角线上的数）来消\(i+1-n\)行的第\(i\)列数，即:将这些数都加上\(k\times c[i][i]\;\;(k=-\frac{c[j][i]}{c[i][i]})\)

这里必须要注意，\(c[i][i]\)不能是\(0\)，导致没有意义。所以在算倍数k之前，要保证\(c[i][i]≠0\)，即从\(i-n\)行中找到一个数，使得\(c[j][i]≠0\)，然后将这两个行的数交换过来即可

根据行列式性质②，行列式的值要变号，但这里我们是在求方程组，不用管行列式值符号的问题

③然后，自下向上递推。从而求出每一个未知数的解

代码：

void gauss()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i;j<=n;j++)
            if(fabs(c[j][i])>1e-8)
            //找到大于0的除
            {
                if(j==i)break;
                for(int l=1;l<=n+1;l++)
                    swap(c[j][l],c[i][l]);
                break;
            }
        if(fabs(c[i][i])<=1e-8)continue;
        //如果这列已经全是0了，不必继续消了
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            double k=c[j][i]/c[i][i];
            for (int l=1;l<=n+1;l++)
                c[j][l]=c[j][l]-c[i][l]*k;
                //k（倍数），把这列的数都消成0
        }
    }
}

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但是这种方法可能会存在精度的问题，算\(k\)（倍数）时出现误差

如何提高精度？

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主元消元法

假设现在有个数\(p\)，还有两个数\(10^5,10^{-5}\)

那么\(p\)除以哪个数，分到的小数位数（精度）越高呢？

显然，是\(10^5\)。那么根据我们推导的结论，除数绝对值越大越好

然后我们仔细观察朴素消元的代码

会惊奇的发现只有一行对精度会有影响：

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double k=c[j][i]/c[i][i];

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根据我们刚刚推导的结论，\(c[i][i]\)绝对值越大，精度越高

因此，我们只需把朴素代码中的找不为\(0\)的数改成找绝对值最大的数即可

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void gauss()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            if(fabs(c[j][i])>fabs(c[i][i]))//找最大值
            {
                for(int k=1;k<=n+1;k++)
                {
                    swap(c[j][k],c[i][k]);
                }
            }
        }
        if(fabs(c[i][i])<=1e-8)continue;//若全为0，不必继续消
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            double t=c[j][i]/c[i][i];
            for(int k=1;k<=n+1;k++)
            {
                c[j][k]=c[j][k]-t*c[i][k];
            }
        }
    }
}

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这样我们就大大提高了算法的精度

还剩最后一个问题：如何判断有多组解的情况？

只需判断某一行消完后是否全为\(0\)即可（自己稍微想想即可）

详见完整代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=20;
int n;
double b[N][N],c[N][N],res[N];
void gauss()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            if(fabs(c[j][i])>fabs(c[i][i]))
            {
                for(int k=1;k<=n+1;k++)
                {
                    swap(c[j][k],c[i][k]);
                }
            }
        }
        if(fabs(c[i][i])<=1e-8)continue;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            double t=c[j][i]/c[i][i];
            for(int k=1;k<=n+1;k++)
            {
                c[j][k]=c[j][k]-t*c[i][k];
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int a=1;a<=n;a++)
        for(int b=1;b<=n+1;b++)
        {
            scanf("%lf",&c[a][b]);
        }
    guass();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        bool fail=true;
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        {
            if(c[i][j])
            {
                fail=false;
                break;
            }
        }
        if(fail)//若某行的系数全为0，则说明无唯一解
        {
            puts("No Solution");
            return 0;
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        double t=0;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            t=t+res[j]*c[i][j];
        }
        res[i]=(c[i][n+1]-t)/c[i][i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.2lf\n",res[i]);
    return 0;
}