51nod--1079 中国剩余定理

题目：

1079 中国剩余定理

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一个正整数K，给出K Mod 一些质数的结果，求符合条件的最小的K。例如，K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合条件的最小的K = 23。

Input

第1行：1个数N表示后面输入的质数及模的数量。（2 <= N <= 10)

第2 - N + 1行，每行2个数P和M，中间用空格分隔，P是质数，M是K % P的结果。（2 <= P <= 100, 0 <= K < P)

Output

输出符合条件的最小的K。数据中所有K均小于10^9。

Input示例

3

2 1

3 2

5 3

Output示例

23

分析：

若 m1， m2， m3…mi 是两两互素的正整数， 则同余方程组：

x = a1 （mod m1）

x = a2 （mod m2）

…

x = an （mod mn）

有模 M = m1 * m2 * m3 * m4 … mn 的唯一解。

令 Mi = M / mi；

易得 (Mi, mi) = 1 ， 所以有 MiPi = 1（mod mi）

则 方程组的解 x=∑ni=1ai*Mi*Pi

实现：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 100;

LL a[maxn], m[maxn];

void Exgcd(LL a, LL b, LL& d, LL& x, LL& y) {
    if(b == 0) { d = a, x = 1, y = 0; }
    else {
        Exgcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x * (a/b);
    }
}

LL China(int n, LL* a, LL* m) {
    LL M = 1, d, y, x = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i) M *= m[i];
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        LL w = M / m[i];
        Exgcd(m[i], w, d, d, y);
        x = (x + y*w*a[i]) % M;
    }
    return (x + M) % M;
}

int main() {
    int n;
    while(cin >> n) {
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            cin >> m[i] >> a[i];
        }
        cout << China(n, a, m) <<endl;
    }
}