[算法]动态规划(Dynamic programming)

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　　　Dynamic Programming的Programming指的不是程序而是一种表格法。我们知道，分治法将问题划分为互不相交的子问题，递归的求解子问题，再将他们组合起来，求出原问题的解。而动态规划应用于子问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子子问题，在这种情况下，动态规划方法对每个子子问题只求解一次，将其解保存在一个表格中，从而无需每次求解一个子子问题时都重新计算。

　　动态规划方法通常用来求解最优化问题(optimization problem),也就是找到问题的一个最优解。我们通常按以下四个步骤来设计一个动态规划算法：

　　　　1.刻画一个最优解的结构特征。

　　　　2.递归地定义最优解的值。

　　　　3.计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。　　

　　　　4.利用计算出的信息构造一个最优解。

　　第一步刻画一个最优解的结构特征。如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，我们就称此问题具有最优子结构性质。当某问题具有最优子结构性质时，如果这些子问题有重叠的情况，我们就应考虑动态规划方法（具有最优子结构性质也可能意味着适合应用贪心策略）。

　　第二步中，由于问题具有子问题，所以我们可以使用递归的方式求解，但是由于反复的求解相同的子问题，朴素的递归算法非常的低效。

　　第三步，我们开始真正实现动态规划算法，动态规划算法有两种等价的实现方法：

　　　　1.带备忘的自顶向下法（top-down with memoization）:在第二步递归方法的过程中，保存每一个子问题的解，当需要一个子问题的解时，过程首先检查是否已经保存过此解。如果是，则直接返回保存的值，从而节省了计算时间。否则，按通常方式计算此解后保存。我们称这个递归过程是带备忘的(memoized)，因为它“记住”了之前已经计算出的结果。

　　　　2.自底向上法（bottom-up method）:将子问题按规模排序，按由小至大的顺序进行求解，当求解某个子问题时，它所依赖的那些更小的子问题都已求解完毕，结果已经保存。每个子问题只需求解一次，当我们第一次遇见它时，它的所有前提子问题都已求解完成。

　　第四步中构造最优解，要在第三步中保存每次求解时维护一些额外的信息保存做出的选择，第四步再将每次的选择得出，就可以构造出一个最优解。

　　举例：Leetcode word-break:

　　　　Given a string s and a dictionary of words dict, determine if s can be segmented into a space-separated sequence of one or more dictionary words.

　　　　For example, given

　　　　　　s = "leetcode",
　　　　　　dict = ["leet", "code"].

　　　　Return true because "leetcode" can be segmented as "leet code".

　　分析：输入是一个unordered-set<string>& wordDict，一个string& s，输出是一个bool值，判断string s是否能被分解成wordDict中的string值。

　　分析该问题我们发现，如果s能够被分解成wordDict中的单词组合，那么，对于其分割答案中的一次分割s->s1,s2,将s分割成s1和s2，s1和s2必也能分割成wordDict中的单词。也就是对s的分割包含了对s1和s2的分割，该问题的最优解包含了其子问题的最优解，该问题具有最优子结构性质。

　　现在我们可以尝试通过递归的方法求解该问题，我们对于s中每两个字符间的每一次分割遍历s，如果分割得到的s1和s2都能被分解为wordDict中的单词，我们就说s能够被分解为wordDict中的单词，如果s1和s2不能被分解为wordDict中的单词，则继续遍历s。如果分割点直到s中的最后一个字符都没能得到两个都能被分解的s1和s2，则我们说s不能分解为s1和s2中的单词。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <unordered_set>
#include <algorithm>
using namespace std;

class Solution
{
public:
    bool wordBreak(string s,unordered_set<string>& wordDict)
    {
        if(wordDict.size() == ) //边界条件1
        {
            return false;
        }
        if(s.size() == ) //边界条件2
        {
            return false;
        }
        if(find(wordDict.begin(),wordDict.end(),s) != wordDict.end()) //递归退出条件
        {
            return true;
        }
　　　　 int size = s.size();
        if(size == ) //如果wordDict中没找到s，s又不能继续分割，return false
        {
            return false;
        }
        for(int i=;i<size;i++) //对s遍历每一个分割点
        {
            string s1 = s.substr(,i);
            string s2 = s.substr(i,size);
            if(wordBreak(s1,wordDict) && wordBreak(s2,wordDict))
            {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
};

　　分析上述递归的方法，我们发现，对于每一个s，我们都要遍历它的每两个字符间的分割点，而s分割出来的s1,s2，又包含了同样的字符顺序，也就是，我们重复求解了很多次相通的字符串，所以，上面的递归解法非常的低效。由于我们判断出该题的子问题相互重叠，我们使用动态规划的方法。

　　上面已经得到了一个递归解法，所以在动态规划解法中我们使用带备忘的自顶向下法对于此问题，我们要求的解是对于一个特定的string，求对应的bool值，所以我们使用一个全局map:map<string,bool> mp来保存每次的结果。在每次递归前检查是否已经取得了解，并在递归后在map中保存解。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <unordered_set>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;

class Solution
{
public:
    map<string,bool> mp;
    bool wordBreak(string s,unordered_set<string>& wordDict)
    {
        if(wordDict.size() == ) //边界条件1
        {
            return false;
        }
        if(s.size() == ) //边界条件2
        {
            return false;
        }
        if(find(wordDict.begin(),wordDict.end(),s) != wordDict.end()) //递归退出条件
        {
            return true;
        }
        int size = s.size();
        if(size == ) //如果wordDict中没找到s，s又不能继续分割，return false
        {
            return false;
        }
        for(int i=;i<size;i++) //对s遍历每一个分割点
        {
            string s1 = s.substr(,i);
            string s2 = s.substr(i,size);
            bool flag1 = false;
            bool flag2 = false;
            bool is1 = false;
            bool is2 = false;
            if(mp.empty() == false && (mp.find(s1) != mp.end()))//如果已经得到了s1的解，直接从mp中取。
            {
                is1 = true;
                flag1 = (*mp.find(s1)).second;
            }
            if(mp.empty() == false && (mp.find(s2) != mp.end()))//如果已经得到了s2的解，直接从mp中取。
            {
                is2 = true;
                flag2 = (*mp.find(s2)).second;
            }
            if(is1 == false)//如果没有得到过s1的解，求解并保存在mp中。
            {
                flag1 = wordBreak(s1,wordDict);
                mp[s1] = flag1;
            }
            if(is2 == false)//如果没有得到过s2的解，求解并保存在mp中。
            {
                flag2 = wordBreak(s2,wordDict);
                mp[s2] = flag2;
            }
            if(flag1 && flag2)
            {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
};