算法学习->整数拆分问题

动态规划典型题目/

00 题目

将正整数n无需拆分为最大数为k的拆分方案有多少种？
​
要求所有的拆分方案不重复。

示例：

输入：n=5，k=5

输出：(5,5)=7

示例分析：

1. 5=5

2. 5=4+1

3. 5=3+2

4. 5=3+1+1

5. 5=2+2+1

6. 5=2+1+1+1

7. 5=1+1+1+1+1

所以一共七种。

01 思路

01-1 类型

求解这一问题的思路有很多，在这里是想作为动态规划的例题进行分析。所以采用动态规划。

01-2 算法

使用动态规划，最重要的是状态转移方程

简单说就是当前状态对下一状态，依据限制条件，进行决策的函数。

来想一下，n和k的关系：

• n=1或者k=1时，显然 f(n,k)=1;

• n<k时，有 f(n,k)=f(n,n);

• n=k时，f(n,n)=f(n,n-1)+1

  • //即将k降一次的感觉，因为这种情况必有一种拆分是他自己，比如上面的5，5

• n>k时，我们考虑一下，会有两种大的情况：

  • 第一种，n的拆分里有k，那这一大类其实相当于f(n,k)=f(n-k,k)

  • 第二种，n的拆分里没k，那就是拆分里所有数都比k小，即n的(k-1)的拆分，即f(n,k)=f(n,k-1);

02 代码

这样的代码就很好实现。

典型动态规划实现的话，就只有嵌套循环和if-else循环。

 1 //求解n的k拆分
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<string.h>
 4 #define MAXN 500
 5 int dp[MAXN][MAXN];
 6 void Split(int n, int k){
 7     for(int i = 1; i <= n; i++){
 8         for(int j = 1; j <= k; j++){
 9             if(i == 1 || j == 1){
10                 dp[i][j] = 1;
11             }
12             else if(i < j){
13                 dp[i][j] = dp[i][i];
14             }
15             else if(i == j){
16                 dp[i][j] = dp[i][j-1]+1;
17             }
18             else{
19                 dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j];
20             }
21         }
22     }
23 }
24 int main(){
25         int n=5,k=5;
26         memset(dp, 0, sizeof(dp));
27         Split(n,k);
28         printf("(%d, %d)=%d",n,k,dp[n][k]);
29         return 0;
30 }
31  

因为这个问题是递归的，所以可以采用递归来写，解决过程是自顶向下的。当然就在递归过程中将算过的子问题放进dp数组，在后续dp不等0时就是此前已经算过了，直接return就行。

这种方法也叫备忘录法

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #define MAXN 500
 4 int dp[MAXN][MAXN];
 5 int dpf(int n, int k){
 6     if(dp[n][k] != 0)return dp[n][k];
 7     if(n == 1 || k == 1){
 8         dp[n][k] = 1;
 9         return dp[n][k];
10     }
11     else if(n < k){
12         dp[n][k] = dpf(n, n);
13         return dp[n][k];
14     }
15     else if(n == k){
16         dp[n][k] = dpf(n, k-1)+1;
17         return dp[n][k];
18     }
19     else{
20         dp[n][k] = dpf(n, k-1)+dpf(n-k, k);
21         return dp[n][k];
22     }
23 }
24 int main(){
25     int n=5,k=5;
26     memset(dp, 0, sizeof(dp));
27     printf("(%d, %d)=%d",n,k,dpf(n,k));
28     return 0;
29 }