Codeforces 1392I - Kevin and Grid（平面图的欧拉定理+FFT）

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门

模拟赛考到一道和这题有点类似的题就来补了

神仙 GLBR I %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

不过感觉见过类似的题目之后就比较套路了（？）

首先我们记权值 \(\ge x\) 的为黑点，\(<x\) 的为白点，那么我们考虑对黑点和白点分别建一张图，不妨设黑点的图为 \(G_1\)，白点的图为 \(G_2\)，如果相邻两个点都是黑点就在 \(G_1\) 中连一条边，对于白点也同理。那么显然连出来的是一张平面图，根据平面图的性质，也就是欧拉定理，如果一张平面图是连通图，那么必然有 \(V-E+F=2\)，扩展到非连通的情况也是同理，如果一张平面图有 \(x\) 个连通块，那么如果我们把这 \(x\) 个连通块单独看作一张平面图，那么应当也有 \(V_i-E_i+F_i=2\)，其中 \(V_i,E_i,F_i\) 分别为第 \(i\) 个连通块的点数、边数、面数。显然整张图的点数、边数分别是每个连通块的点数、边数之和，但是面数就不是这么回事了，具体来说，由于每个连通块在单独计算时都包含了外面，因此图的总面数就是所有连通块中面数减 \(1\) 再加 \(1\)，即 \(F=1+\sum\limits_{i=1}^xF_i-1\)​，而对于每个连通块，欧拉定理的式子可以变形为 \(V_i-E_i+F_i-1=1\)，把它们加起来可以得到 \(\sum\limits_{i=1}^xV_i-E_i+F_i-1=x\)，因此对于整张图而言有 \(V-E+F=x+1\)。

但是我们知道，对于一张平面图而言，其面数是不好直接求的——并且就算你求得了点数、边数和面数，通过上式计算出了连通块的个数，也无法得到答案——因为本题要求的并不仅仅是连通块的个数，还要算上碰到边界的连通块的个数。因此我们还得继续考虑碰到边界的连通块个数怎么求。通过观察可以发现，对于 \(G_2\) 中的每一个不等于外面，且不是由某个大小为 \(4\) 的形如 \((x,y),(x+1,y),(x,y+1),(x+1,y+1)\) 的连通块围成的面，其都对应了 \(G_1\) 中的一个没有碰到边界的连通块。也就是说，如果我们记 \(V_1,E_1,F_1\) 分别表示 \(G_1\) 中的点数、边数和面数，\(V_2,E_2,F_2\) 也同理，再记 \(C_1,C_2\) 分别表示 \(G_1,G_2\) 中形如 \((x,y),(x+1,y),(x,y+1),(x+1,y+1)\) 的连通块的个数，那么可以得到 \(G_1\) 中碰到边界的连通块个数 \(=F_2-C_2-1\)，\(G_2\) 也同理，因此我们可以得到

\[res=(V_1-E_1+F_1-1)-(V_2-E_2+F_2-1)+(F_2-C_2-1)-(F_1-C_1-1)
\]

化简一下

\[res=(V_1-V_2)-(E_1-E_2)+(C_1-C_2)
\]

这个看起来就比原问题好维护多了，我们尝试维护这东西。

首先对于一个固定的 \(x\)​ 而言，\(V_1\)​ 的大小就是满足 \(a_i+b_j\ge x\)​ 的 \((i,j)\)​ 的个数，由于值域很小，可以对 \(a,b\)​ 分别开个桶，卷积一下求个后缀和求出 \(V_1\)​，对于 \(E_1\)​​ 我们可以将其中的边分为两类，横着的边和竖着的边，以横着的边为例，竖着的边就将式子中的 \(a,b\)​ 交换一下即可。显然对于两个在横方向上靠在一起的格子 \((i,j),(i,j+1)\)​，它们都在 \(G_1\)​ 中当且仅当 \(a_i+b_j\ge x,a_i+b_{j+1}\ge x\)，即 \(a_i+\max(b_j,b_{j+1})\ge x\)，同样卷积一下即可。\(C_1\) 求解方法也很类似，\(\max(a_i,a_{i+1})+\max(b_j,b_{j+1})\ge x\)，也可以一遍卷积带走。对于 \(V_2,E_2,C_2\)​ 也类似，你只需要把式子中所有 \(\max\) 换成 \(\min\)，\(\ge\) 换成 \(<\) 即可。时间复杂度 \(n\log n\)。

const int MAXN=1e5;
const int MAXP=1<<18;
const double Pi=acos(-1);
int n,m,qu,a[MAXN+5],b[MAXN+5];
struct comp{
	double x,y;
	comp(double _x=0,double _y=0):x(_x),y(_y){}
	comp operator +(const comp &rhs){return comp(x+rhs.x,y+rhs.y);}
	comp operator -(const comp &rhs){return comp(x-rhs.x,y-rhs.y);}
	comp operator *(const comp &rhs){return comp(x*rhs.x-y*rhs.y,x*rhs.y+y*rhs.x);}
} A[MAXP+5],mA[MAXP+5],MA[MAXP+5],B[MAXP+5],mB[MAXP+5],MB[MAXP+5];
comp V[MAXP+5],lV[MAXP+5],lH[MAXP+5],rV[MAXP+5],rH[MAXP+5],l4[MAXP+5],r4[MAXP+5];
//l for <=, r for >=, V for vertical, H for horizontal, 4 for 4-connected area
int rev[MAXP+5];
void FFT(comp *a,int len,int type){
	int lg=31-__builtin_clz(len);
	for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
	for(int i=0;i<len;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=2;i<=len;i<<=1){
		comp W=comp(cos(2*Pi/i),type*sin(2*Pi/i));
		for(int j=0;j<len;j+=i){
			comp w=comp(1,0);
			for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*W){
				comp X=a[j+k],Y=w*a[(i>>1)+j+k];
				a[j+k]=X+Y;a[(i>>1)+j+k]=X-Y;
			}
		}
	} if(type==-1){
		for(int i=0;i<len;i++) a[i].x=(ll)(a[i].x/len+0.5);
	}
}
ll Ver_l[MAXP+5],Edg_l[MAXP+5],Fac_l[MAXP+5];
ll Ver_r[MAXP+5],Edg_r[MAXP+5],Fac_r[MAXP+5];
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&qu);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) A[a[i]].x+=1;
	for(int i=1;i<=m;i++) B[b[i]].x+=1;
	for(int i=1;i<n;i++){
		mA[min(a[i],a[i+1])].x+=1;
		MA[max(a[i],a[i+1])].x+=1;
	}
	for(int i=1;i<m;i++){
		mB[min(b[i],b[i+1])].x+=1;
		MB[max(b[i],b[i+1])].x+=1;
	}
	FFT(A,MAXP,1);FFT(B,MAXP,1);FFT(mA,MAXP,1);FFT(mB,MAXP,1);
	FFT(MA,MAXP,1);FFT(MB,MAXP,1);
	for(int i=0;i<MAXP;i++){
		V[i]=A[i]*B[i];
		lV[i]=MA[i]*B[i];rV[i]=mA[i]*B[i];
		lH[i]=A[i]*MB[i];rH[i]=A[i]*mB[i];
		l4[i]=MA[i]*MB[i];r4[i]=mA[i]*mB[i];
	} FFT(V,MAXP,-1);FFT(lV,MAXP,-1);FFT(rV,MAXP,-1);
	FFT(lH,MAXP,-1);FFT(rH,MAXP,-1);FFT(l4,MAXP,-1);FFT(r4,MAXP,-1);
	for(int i=1;i<=MAXP;i++){
		Ver_l[i]+=(ll)V[i].x;Ver_r[i]+=(ll)V[i].x;
		Edg_l[i]+=(ll)lV[i].x;Edg_r[i]+=(ll)rV[i].x;
		Edg_l[i]+=(ll)lH[i].x;Edg_r[i]+=(ll)rH[i].x;
		Fac_l[i]+=(ll)l4[i].x;Fac_r[i]+=(ll)r4[i].x;
	}
	for(int i=1;i<=MAXP;i++) Ver_l[i]+=Ver_l[i-1],Edg_l[i]+=Edg_l[i-1],Fac_l[i]+=Fac_l[i-1];
	for(int i=MAXP;i;i--) Ver_r[i]+=Ver_r[i+1],Edg_r[i]+=Edg_r[i+1],Fac_r[i]+=Fac_r[i+1];
	while(qu--){
		int x;scanf("%d",&x);
		printf("%lld\n",(Ver_r[x]-Ver_l[x-1])-(Edg_r[x]-Edg_l[x-1])+(Fac_r[x]-Fac_l[x-1]));
	}
	return 0;
}