AMC Problems and Solutions

AMC Problems and Solutions：https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/AMC_Problems_and_Solutions

心形线：http://www.mathematische-basteleien.de/heart.htm

http://www.matrix67.com/blog/archives/223

https://www.desmos.com/calculator

数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线$C:x^2+y^2=1+|x|y$就是其中之一（如图）.给出下列三个结论:

\begin{minipage}[h][20ex][t]{.67\textwidth}
\begin{enumerate}[align=left,labelsep=-0.6em,leftmargin=1.2em,noitemsep,topsep=0pt]
\item[\ding{172}] 曲线$C$恰好经过$6$个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;

\item[\ding{173}] 曲线$C$上任意一点到原点的距离都不超过$\sqrt{2}$;

\item[\ding{174}] 曲线$C$所围成的“心形”区域的面积小于$3$.
\end{enumerate}
其中,所有正确结论的序号是
\begin{tasks}(2)
\task \ding{172}
\task \ding{173} \task \ding{172}\ding{173} \task \ding{172}\ding{173}\ding{174}
\end{tasks}
\end{minipage}
\begin{minipage}[h][20ex][t]{.45\textwidth}
\includegraphics[width=4.4cm]{bj8.pdf}
\end{minipage}%\vspace{16em}

\[

x^2+\left( y-\sqrt[3]{x^2} \right) ^2=1

\]

$$
\left( x^2+\frac{9}{4}y^2+z^2-1 \right) ^3-x^2z^3-\frac{9}{80}y^2z^3=0
$$

原文地址：

 

http://www.guokr.com/post/60867/

 

 

 

一切是从一个故事开始的： 

 

　　1650年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。  

 

　　那时，落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活，全部的财产只有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。生性清高的笛卡尔从来不开口请求路人施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。  

 

　　一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。他如此沉溺于数学世界，身边过往的人群，喧闹的车马队伍。都无法对他造成干扰。 

 

　　突然，有人来到他旁边，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。她就是瑞典的小公主，国王最宠爱的女儿克里斯汀。  

 

　　她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。  

 

　　和女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依旧每天坐在街头写写画画。  

 

　　几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到了从远处传来的银铃般的笑声。转过身，他看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。慌忙中，他赶紧低头行礼。  

 

　　从此，他当上了公主的数学老师。  

 

　　公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。  

 

　　在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。  

 

　　在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。  

 

　　然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。  

 

　　当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后不久，便染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。 

 

　　在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。  

 

　　这最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sinθ)。  

 

　　国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘密，便把全城的数学家召集到皇宫，但是没有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不 乐，便把这封信给了她。拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她立即明白了恋人的意图，找来纸和笔，着手把方程图形画了出来，一颗心形图案出现在眼前，克里斯汀不禁 流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。  

 

　　国王去世后，克里斯汀继承王位，登基后，她便立刻派人去法国寻找心上人的下落，收到的却是笛卡尔去世的消息，留下了一个永远的遗憾……  

 

　　这封享誉世界的另类情书，至今，还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。 

 

 <————————————————我是知音体的分割线————————————————> 

 

    这个故事进过无数次转载改写和脑补，最初出处已不可考，此处随便选择了一个版本。除了略显《知音》体之外（事实上这篇东西就是从知音网刨下来的），这篇文章对广大的数理宅男还是很励志的，“学好数学，推倒王女！”比那个逊毙了的“走遍天下都不怕”的版本听起来好多了。但是这个故事是真的吗？毕竟这不是小说里面，50多岁的老Geeker干掉18岁的小姑娘还是比较困难的（敝校杨教授属于偏离平均位置的例外……）。

 

    首先看那个棒打鸳鸯的老国王。翻了一下手边的资料，发现克里斯汀公主的老爹居然是赫赫有名的古斯塔夫·阿道夫，号称“现代军事之父”的古斯塔夫二世是也。后人提起德意志三十年战争，基本上就只记得“新教的保护者”“北方雄狮”古斯塔夫同学带着瑞典大军干死蒂利老爹，和当时另一名将瓦伦斯坦互掐的两年。这么看来，作风强悍的古斯塔夫国王倒的确是做得出处死垂涎自己女儿的怪叔叔这种事。但是问题在于，猛人古斯塔夫同学的名字下面还有一个小小的括号：（1594.12.9～1632.11.6），1632年的时候他就因为人品不佳在吕岑会战中被乱枪打死了（值得一提的是虽然他几乎在刚开始就挂了，但勇猛的瑞典士兵仍然为他赢得了战役的胜利）。笛卡尔到瑞典的时候，他老人家已经死掉好多年了，也没有任何记载说他当时被气得从坟里爬了出来。 

 

猛人古斯塔夫二世·阿道夫 

 

    根据上面的记述，1650年的时候克里斯汀（有的文章中拼成Christina，其实人家叫Kristina）公主已经在王位上坐了18年了，当然不可能同文中一样只有18岁还在街头到处与陌生人说话。事实上克里斯汀生于1626年，1632年她老爹阵亡的时候以假定继承人的身份继承了王位。虽然1650年才举行加冕仪式，但是显然她此时已不再是“公主”，而是正牌的女王。 

 

    那么笛卡尔与女王之间是不是真有什么不可告人的秘密呢？毕竟24岁也算不上人老珠黄，笛卡尔也有可能控的是御姐。事实上，笛卡尔的确到过斯德哥尔摩，但不是什么一文不名一路讨饭过去的（就算是流浪也不会挑在当时人们心目中贫瘠苦寒的瑞典吧）。真相是当时女王经常跟法国大使讨论笛卡尔的哲学，因此她对这个作者大感兴趣并邀他前往瑞典。这在当时是很正常的事情，韦达长年给亨利四世打工，欧拉同学也曾经应叶卡捷琳娜女皇的邀请在俄国呆过，也没见他干出什么有伤风化的事。虽然克里斯汀女王为笛卡尔身体着想（17世纪欧洲人平均寿命26岁，笛卡尔算是高龄了），特别提醒笛卡尔同学在比较暖和的次年春夏季来访，但是亢奋的笛卡尔在当年冬天立即动身前往瑞典。到了斯德哥尔摩笛卡尔才发现在这个地方TM每天早上5点就要起床教哲学，而他从小就养成了11点钟才起床的习惯。每天顶着凛冽寒风到炉火熊熊的宫殿里上课，上完课再顶着凛冽寒风回家的笛卡尔很快感冒了，这感冒又发展成了肺病。在离青霉素被发现还有200多年的当时肺炎是致命的，1650年2月11日笛卡尔死在了瑞典，当然克里斯汀表示十分内疚，但是显然没有所谓派人去法国寻找他的下落。 

  

铁娘子克里斯汀女王 

 

    另外在此八卦一下克里斯汀女王，她是古斯塔夫国王三个女儿中唯一没有夭折的，所以很得宠爱。她出生时被误认为男孩，国王把她当男孩抚养，所以她即位宣誓时自称“国王”而非“女王”……对于她长大之后，wiki词条中这样写道： 

 

    纵使大臣经常催促她履行诞下继承人的职责，但克里斯蒂娜坚决不肯结婚。她认为婚姻“好得不能与爱情共存”。现代有人甚至认为她是女同性恋者，其中一个理据是她喜欢穿着男人衣服，或在服装上同时展现男性和女性风格──但克里斯蒂娜说穿着男装鞋子是为了方便。有人声称她是阴阳人 ，并在1965年检查她的遗体，但证实她是正常的女性，而她的验尸报告也没有提及生殖系统异常的状况。 

 

    当时的人认为，克里斯蒂娜坐下、走路、移动、交谈的举动都很像男性。她也较喜欢与男子作伴，除非该女人十分漂亮，才会结识她。同样地，她喜欢与有学识的女性交往，不管她们长得怎样。克里斯蒂娜年轻时十分热爱她的内侍艾芭·斯芭尔，大部分空余时间都和她在一起和称赞她的美。克里斯蒂娜把她介绍给英格兰大使怀特洛克，保证她的才智与美貌都是惊为天人的。她离开瑞典后也继续写信给斯芭尔，信中说她会永远爱着她。然而，这种信件在当时十分流行，包括克里斯蒂娜写给从未相遇，但仰慕其写作的女人的信件。后来在罗马时，她跟阿佐利诺枢机的关系亲昵。 

 

    再考虑到她与著名的女王伊丽莎白一样献身国家终身未嫁，这实在不像是能和笛卡尔有什么风流韵事的人。但是公正地说，文中有一点是正确的，就是克里斯汀的确是传说中的天才少女，她马术精湛，擅长剑击和射击，精通法语希腊语拉丁语，对哲学颇有研究……  

 

    退一步说，即使笛卡尔真的寄出了那封情书，克里斯汀真能看懂的概率有多少？首先要指出的是，天才少女克里斯汀的才艺范围似乎并没有数学这一项，笛卡尔教的是哲学。即使她略懂数学，我们看看那个方程：r=a(1-sinθ)，这是个极坐标方程……17世纪的时候极坐标系还是个新玩意，虽然古希腊人曾经有过类似的思想，但是他们并没有建立整个坐标系统。卡瓦列里1635年、圣-万桑特在1647年发表的成果才独立地各自引入了极坐标系这一概念。里卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。1671年牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。直到1691年来自那个大牛家族的雅各布·伯努利才真正系统地研究了极坐标系。虽然笛卡尔因那个以他命名的坐标系而闻名，但是没有资料说他对极坐标有什么研究。真要写成他比较熟悉的方式应该是这样的： 

 

   

 

 

 

实际上心脏线其实并不是Geeker们玩浪漫的最好选择，由两个旋转了45°的椭圆可以画出更好的心形线： 

  

  

原子不怕冷同学在博文中介绍了一种更漂亮的心形： 

  

 

 

事实上，将两个三次方替换成其他奇数也可以得到新的心形曲线，但他们长得都不太好看。另一种常见的生成心形曲线的方法是把一条过原点的螺线[0, p]的部分关于y轴对称，如Iamds同学在M67大牛的博文回复中提到的： 

 

  

住在赛文奥特曼隔壁的M67大牛曾经介绍过一个更加漂亮的结果，实际上是上面心形在三维空间的推广。这一图案的Tee已经有卖了： 

 

 

虽然上面列举了大量各式各样任君挑选的心形函数，但是血淋淋的事实告诉我们，除非你的目标妹子也是一只Geeker（至少会用Mathematica或者MATLAB等软件），否则像笛卡尔这样单给一个函数的结果大概就是别人推倒妹子你推导公式……表白什么的还是选择更浅显易懂的方法吧。 

参考资料 

【1】John Derbyshire,2010,《代数的历史》 

【2】维基百科古斯塔夫二世·阿道夫词条 

【3】维基百科克里斯蒂娜女王词条 

【4】维基百科笛卡尔词条 

【5】维基百科极坐标系词条 

【6】飞鸟未来,关于心形曲线的一次探索 

【7】原子不怕冷，浪漫的Mathematica——心型曲线 

【8】Matrix67,爱的方程式（加强版）

 

最后，附上我自己用Mathematica画的图：