Miler-Rabbin素数判定

前言

素数判定？

小学生都可以打的出来！

直接暴力O(n)O(\sqrt n)O(n​)……

然后就会发现，慢死了……

于是我们想到了筛法，比如前几天说到的詹欧筛法。

但是线性的时间和空间成了硬伤……如果是long long范围内的数，就搞不出来了。

那么素数判定就止步于此了吗？

不可能的，优化永无止境。我们可以用正确率来换时间啊！

Miller-Rabbin素数判定法就是这样的一个水法好方法。

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前置数论知识

“费马小定理的逆定理”

首先是人人皆知的费马小定理：如果ppp为素数，对于任意非零整数aaa，满足ap−1≡1(mod  p)a^{p-1}\equiv 1(\mod p)ap−1≡1(modp)

怎么证明呢？抱歉，我初三了也不会证……（WHH五年级时就会证了……）

接下来有个猜想，如果有个正整数ppp，满足对于任意aaa，有ap−1≡1(mod  p)a^{p-1}\equiv 1(
\mod p)ap−1≡1(modp)，那么ppp是素数。

这个猜想是正确的吗？

当然不是……

有种可恶的数叫Carmichael数，你可以将它称为伪素数。

这种恶心的数啊，它不是素数，但是它满足这条性质。

它的个数是无限的，但是分布很稀疏，在10810^8108内，只有255255255个Carmichael数。

所以正确率还是很高的……

可是我们要精益求精，并且，要知道这个世界上有很多毒瘤出题人……有时候数据怎样不取决于你的运气，全在于出题人……

二次探测定理

为了提高上面那东西的正确率，MillerMillerMiller和RabbinRabbinRabbin决定引入二次探测定理。

定理内容很简单：若ppp是一个素数，方程x2≡1(mod  p)x^2\equiv 1(\mod p)x2≡1(modp)的唯二解为p=±1(mod  p)p=\pm1(\mod p)p=±1(modp)

证明？

移项得x2−1≡0(mod  p)x^2-1\equiv 0(\mod p)x2−1≡0(modp)，

所以(x−1)(x+1)≡0(mod  p)(x-1)(x+1)\equiv 0 (\mod p)(x−1)(x+1)≡0(modp)

所以p∣(x+1)(x−1)p \mid (x+1)(x-1)p∣(x+1)(x−1)

因为ppp是个素数，所以p∣(x+1)p \mid (x+1)p∣(x+1)或p∣(x−1)p \mid (x-1)p∣(x−1)

所以x=±1(mod  p)x=\pm1(\mod p)x=±1(modp)

我们反过来看，如果存在非零整数xxx使得这个定理不成立，那么ppp一定是合数。

所以这个东西可以大大地加强正确率。

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Miller-Rabbin素数判定

这个算法就是将上面两个数论知识结合起来。

对于待测数ppp，先将p−1p-1p−1分解成2kt2^kt2kt的形式，其中ttt为奇数。

然后取几个基数aaa，分别做以下操作：

首先算出ata^tat，判断它是否为±1\pm1±1，如果是，则暂时判定为素数，退出。（这样它在经过自乘后会保持111，满足性质）

如果不是，就枚举t−1t-1t−1次，不断自乘，判断他是否为−1-1−1，如果是，则暂时判定为素数，退出。（原因类似，不用判断111，因为如果它是111，在之前必定是±1\pm 1±1，早就退出了）

搞完之后，如果之前没有退出，那么就将它判定为合数（再自乘一次就变成ap−1a^{p-1}ap−1，由于前面不是±1\pm1±1，所以一定不成立），退出。

所有基数计算完毕，如果判定为素数，就返回素数。

可以想象一下，从一个杂乱的数，变成−1-1−1，再变成111，后面都是111。

具体可以见代码。超短，特别好理解。

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如何拥有更高的正确率？

前面说过Miller_Rabbin是牺牲正确性的算法。

所以基数的取值会和程序的效果有很大关系。

一般来说，可以取一堆随机数，这样就可以达到很高的正确率了。

但是我们要精益求精。

有一种方法是取前几个素数：



图片截自64位以内Rabin-Miller_强伪素数测试和Pollard_rho_因数分解算法的实现.doc

假如选取素数2 3 5 7，在2.5∗10132.5*10^{13}2.5∗1013内唯一一个强伪素数为3,215,031,7513,215,031,7513,215,031,751。

假如选取素数2 3 7 61 24251，在101410^{14}1014内唯一一个强伪素数为46,856,248,255,98146,856,248,255,98146,856,248,255,981。

背下来就可以了……（以防毒瘤出题人）

我脑子不好，所以枚举前面的几个素数。

虽然说Miller_Rabbin牺牲了正确率，但是在一定范围内，只要你的基数取得好，那么正确率是可以达到100%100\%100%的。

还有在判定之前，先拿几个素数来判一下，判完再走。前面的777个素数可以判掉81.9%81.9\%81.9%的数。

当然不要判太多，判越多次，比起先前贡献的增长就越小。

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代码

代码比较简单，主体部分很短。

记得配上快速幂和龟速乘，不然会爆炸。

long long mul(long long a,long long b,long long mo){
	long long res=0;
	for (;b;b>>=1,a=(a<<1)%mo)
		if (b&1)
			res=(res+a)%mo;
	return res;
}
inline long long mpow(long long x,long long y,long long mo){
	long long res=1;
	for (;y;y>>=1,x=mul(x,x,mo))
		if (y&1)
			res=mul(res,x,mo);
	return res;
}
const int p[7]={2,3,5,7,11,13,17};
inline bool mr(long long x){
	if (x==0 || x==1)
		return 0;
	for (int i=0;i<7;++i){
		if (x==p[i])
			return 1;
		if (!(x%p[i]))
			return 0;
	}
	int k=0;
	long long y=x-1;
	while (!(y&1))
		y>>=1,++k;
	for (int i=0;i<7;++i){
		long long s=mpow(p[i],y,x);
		if (s==1 || s==x-1)
			continue;
		for (int j=1;j<k;++j){
			s=mul(s,s,x);
			if (s==x-1)
				break;
		}
		if (s!=x-1)
			return 0;
	}
	return 1;
}