【BZOJ】3751: [NOIP2014]解方程

题意

求\(\sum_{i=0}^{n} a_i x^i = 0\)在\([1, m]\)内的整数解。（\(0 < n \le 100, |a_i| \le 10^{10000}, a_n \neq 0, m \le 1000000\)）

分析

神题。

题解

我们可以取几个质数然后对应取模来计算即可。可是在经过变态的加强数据后，不是tle就是wa。

于是我们可以用一个正确率很低的优化。

令$f(x, p) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \pmod{p} \(，容易知道\)f(x, p) = f(x \ mod \ p, p)\(，所以我们取一些较小的\)p\(，暴力预处理一下然后\)O(1)$就可以判断了。

最后为了提高正确率，我们再将验证通过的数再用大质数验证一次。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int p[4]={11261, 14843, 21893, 9851197}, f[25005][3], n, m, a[105][4], ans[1000015];
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i=0; i<=n; ++i) {
		char c=getchar();
		int f=1;
		for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) {
			if(c=='-') {
				f=-1;
			}
		}
		for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) {
			for(int k=0; k<4; ++k) {
				a[i][k]*=10;
				a[i][k]+=c-'0';
				a[i][k]%=p[k];
			}
		}
		if(f==-1) {
			for(int k=0; k<4; ++k) {
				a[i][k]=p[k]-a[i][k];
			}
		}
	}
	for(int k=0; k<3; ++k) {
		for(int x=1; x<p[k]; ++x) {
			for(int i=0, now=1; i<=n; ++i, now=now*x%p[k]) {
				f[x][k]+=now*a[i][k]%p[k];
				if(f[x][k]>=p[k]) {
					f[x][k]-=p[k];
				}
			}
		}
	}
	int cnt=0;
	for(int i=1; i<=m; ++i) {
		bool flag=1;
		for(int k=0; k<3; ++k) {
			if(f[i%p[k]][k]) {
				flag=0;
				break;
			}
		}
		if(flag) {
			int ret=0;
			for(int j=0, now=1; j<=n; ++j, now=(ll)now*i%p[3]) {
				ret+=(ll)now*a[j][3]%p[3];
				if(ret>=p[3]) {
					ret-=p[3];
				}
			}
			if(ret==0) {
				ans[cnt++]=i;
			}
		}
	}
	printf("%d\n", cnt);
	for(int i=0; i<cnt; ++i) {
		printf("%d\n", ans[i]);
	}
	return 0;
}