树上倍增求LCA详解
LCA(least common ancestors)最近公共祖先
指的就是对于一棵有根树,若结点z既是x的祖先,也是y的祖先(不要告诉我你不知道什么是祖先),那么z就是结点x和y的最近公共祖先。
定义到此。
那么怎么求LCA?
对于朴素思想,就是我要一步一步往上爬。。一步一步走。先把结点x和y整到同一深度,然后再一次一个深度的往上查,直到祖先一样才break(明显是个while)
但是,一步一步实在是太慢了,所以不能脚踏实地地走
那么,考虑跳着走,
跳着走的条件就是要满足一步步数尽可能多并且不跳过了。当然你跳过了在一步一步往下找也行啊QWQ
于是,在满足这两个条件的情况下,我们有了LCA算法:
一步条2的n次方。
对于每一步跳跃,我们要预处理一个二维数组f(father)f[x][i],表示对于当前的x结点,往上跳2^i个祖先,特别的,像数学中的,f[x][0]就是x的一代祖先。于是我们要用一个dfs预处理来解决这个f数组。后面我们会提到;
处理完f数组,那就很简单了。
输入x和y,表示要求结点x和结点y的LCA,那么我们开始求LCA:
对于x和y在不同高度,我们先把他们拉到一个高度,同样不能一步一步走,也要用到f数组。
这里我们要提前了解到一个定理:对于任意一个非零整数,我们都可以将他用2的次幂表示出来。也就是such as : 11=2^3+2^1+2^0。这倒也不用证明,就像每个数都可以用二进制表示一样。
接着讲:在把x和y弄到同一高度时,我们要先做的是设x的深度dep要比y的深度dep要大,如果dep[y]>dep[x],那么把他们交换。原因是如果不交换,那么我们需要判断两种情况,用两个if以及几乎相同的代码。。(乱七八糟还占内存)
然后用一个判断 if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];(此时x深度大于y),在这里用外层for循环来枚举i,但是i一定要从大到小!。为什么?
安利一个故事(其实也不算):一个玻璃瓶,装了几块石头,满到瓶口。满了吗?没有。又装了一些沙子,满到瓶口。满了吗?没有。最后又装满了水,满到瓶口。终于满了。
那么,类比于x和y的深度的距离,这个瓶子的容积也是同样道理。从2的尽可能大的次幂去找,一旦能找到能接近他们的i,就更新dep[x],直到相等。类似于无限逼近,最后值相等的过程。如果i相等了,就说明他们的深度已经在同一层了。
与倍增到同一深度的过程相比,倍增找公共祖先也是类似的,但是有一点不同,就是你不知道什么时候找到他们的公共祖先,因此就没有查找的上限,那么就让他们尽可能接近。因此条件改成了这个:
if(f[x][i]!=f[y][i])
{
x=f[x][i];y=f[y][i];
}
在执行完这个语句后,我们成功让x和y变成了某一节点z的左右儿子!
因为左右儿子是最接近但是又不相等的。
那么我们随便取其中一个找爸爸,就找到了LCA。
啊。。。。。。喘口气
AC代码:
有关链式存图不懂的的点这里。
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,s,num=,head[],dep[],f[][];
int a1,a2;
struct edg{
int next,to;
}edge[];
void edge_add(int u,int v)//链式前向星存图
{
num++;
edge[num].next=head[u];edge[num].to=v;head[u]=num;
edge[++num].next=head[v];edge[num].to=u;head[v]=num;
}
void dfs(int u,int father)//对应深搜预处理f数组
{
dep[u]=dep[father]+;
for(int i=;(<<i)<=dep[u];i++)
{
f[u][i]=f[f[u][i-]][i-];
}
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(v==father)continue;//双向图需要判断是不是父亲节点
f[v][]=u;
dfs(v,u);
}
}
int lca(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
for(int i=;i>=;i--)//从大到小枚举使x和y到了同一层
{
if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];
if(x==y)return x;
}
for(int i=;i>=;i--)//从大到小枚举
{
if(f[x][i]!=f[y][i])//尽可能接近
{
x=f[x][i];y=f[y][i];
}
}
return f[x][];//随便找一个**输出
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for(int i=;i<n;i++)
{
scanf("%d",&a1);scanf("%d",&a2);
edge_add(a1,a2);//链式存边
}
dfs(s,);
for(int i=;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d",&a1,&a2);
printf("%d\n",lca(a1,a2));//求两个节点的LCA
}
}
完结。。
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