2017年全国卷3的21题与2018年全国卷3的21题命题背景是同一个函数$y=\frac{2x}{\ln(x+1)}$(再次瞎谈)

2017年四川高考数学(全国卷3)理科21题第1问

已知函数\(f(x)=x-1-a\ln x\)

(1)若\(f(x)\geqslant 0\)，求\(a\)的值\(.\)

该不等式等价于$a\ln x\leqslant x-1$,

当然还等价于$a\ln(x+1)\leqslant x$

2018年四川高考数学(全国卷3)理科21题第2问

已知\(f(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x\)

(2)若\(x=0\)是\(f(x)\)的极大值点，求实数\(a\)的值.

其实该问题等价于$(2+x+ax^2)\ln(x+1)\leqslant 2x$

前面的博客在第一时间已经谈到这个内容(点击此处链接)

因此，我们发现这两个题在\(x=1\)处等号成立，并且从结构来看都来自同一函数\(y=\frac{2x}{\ln(x+1)}\)，

进而想到这个函数\(y=\frac{2x}{\ln(x+1)}\)在点\(x=1\)处的一些现象，

(1)点\(x=1\)是这个函数\(y=\frac{2x}{\ln(x+1)}\)的可去间断点

(2)根据结构可以考虑这个函数\(y=\frac{2x}{\ln(x+1)}\)在可去间断点\(x=1\)处的零阶泰勒展开和二阶泰勒展开

(数学实验显示无定义，道理读者自己想哈！)

(3)考虑这个函数\(y=\frac{2x}{\ln(x+1)}\)在点\(x=m\)(\(m\rightarrow 0\))处的零阶泰勒展开和二阶泰勒展开

(数学实验验证如下图！)

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实验完毕，道理读者自己想哈！

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