[AHOI2008]紧急集合 / 聚会

题目描述

欢乐岛上有个非常好玩的游戏，叫做“紧急集合”。在岛上分散有N个等待点，有N-1条道路连接着它们，每一条道路都连接某两个等待点，且通过这些道路可以走遍所有的等待点，通过道路从一个点到另一个点要花费一个游戏币。

参加游戏的人三人一组，开始的时候，所有人员均任意分散在各个等待点上（每个点同时允许多个人等待），每个人均带有足够多的游戏币（用于支付使用道路的花费）、地图（标明等待点之间道路连接的情况）以及对话机（用于和同组的成员联系）。当集合号吹响后，每组成员之间迅速联系，了解到自己组所有成员所在的等待点后，迅速在N个等待点中确定一个集结点，组内所有成员将在该集合点集合，集合所用花费最少的组将是游戏的赢家。

小可可和他的朋友邀请你一起参加这个游戏，由你来选择集合点，聪明的你能够完成这个任务，帮助小可可赢得游戏吗？

输入输出格式

输入格式：

第一行两个正整数N和M（N<=500000，M<=500000），之间用一个空格隔开。分别表示等待点的个数（等待点也从1到N进行编号）和获奖所需要完成集合的次数。随后有N-1行，每行用两个正整数A和B，之间用一个空格隔开，表示编号为A和编号为B的等待点之间有一条路。接着还有M行，每行用三个正整数表示某次集合前小可可、小可可的朋友以及你所在等待点的编号。

输出格式：

一共有M行，每行两个数P,C，用一个空格隔开。其中第i行表示第i次集合点选择在编号为P的等待点，集合总共的花费是C个游戏币。

输入输出样例

输入样例#1：

6 4

1 2

2 3

2 4

4 5

5 6

4 5 6

6 3 1

2 4 4

6 6 6

输出样例#1：

5 2

2 5

4 1

6 0

说明

提示：

40%的数据中N<=2000，M<=2000

100%的数据中，N<=500000，M<=500000

对于树上路径的问题，常常可以用$LCA$来解决。但是这道题有三个点，直接找三个点的$LCA$显然是错误的（推完样例即可发现）。自己在做的时候直接瞎猜，集结点应该是三个$LCA$之中的一个，结果公式写错。。。。

正确思路

转自Chen's Blog

这里，我们首先可以显而易见的发现，这个点必须在三个点互相通达的路径上。

我们再思考一下 $LCA$ 与路径和的关系。假设我们知道 $a$ 和 $b$ 的 $LCA$ 是 $x$ ，而且 $x$ 是上述的3个 $LCA$ 中深度最大的那个，那么可以发现从 $x$ 到 $a$ 的距离加上从 $x$ 到 $b$ 的距离一定是最小的。根据上面的结论，我们知道 $a$ ， $c$ 和 $b$ ， $c$ 的 $LCA$点 $y$ 一定在一个点上，而且这个 $y$ 一定比 $x$ 深度小。

那么这个时候，我们会发现此时 $a$ ， $b$ ， $c$ 到 $x$ 的距离和是最小的。证明的话可以这么想：如果 $x'$ 比 $x$ 高，那么虽然 $c$ 到 $x$的距离减小了 $w$ ，但是 $a$ ， $b$ 到 $x'$ 的距离均增大了 $w$ ，显然距离和增大。如果 $x'$ 比 $x$ 低，有一个节点到 $x'$ 的距离减小了 $w$ ，剩下两个节点到 $x'$ 的距离均增大了 $w$ ，显然距离和也增大。

所以我们就找到了到三个点距离和最小的点：这三个点的三对 $LCA$ 中，深度大的那两个$LCA$就是答案。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int read()

{

    int x=0,w=1;char ch=getchar();

    while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}

    while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();

    return x*w;

}

const int N=500010;

int n,m,cnt,x,y,z,s,t,lca,lca1,lca2,lca3,ans,pos;

int head[N],deep[N],f[N][21];

struct node{

    int to,next;

}edge[2*N];

void add(int x,int y)

{

    cnt++;edge[cnt].to=y;edge[cnt].next=head[x];head[x]=cnt;

}

void dfs(int k,int fa)

{

    for(int i=head[k];i;i=edge[i].next)

    {

        int v=edge[i].to;if(v==fa)continue;

        f[v][0]=k;deep[v]=deep[k]+1;dfs(v,k);

    }

}

void init()

{

    for(int i=1;i<=20;i++)

    for(int j=1;j<=n;j++)

    f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];

}

int LCA(int x,int y)

{

    if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);

    for(int i=20;i>=0;i--)

        if(deep[f[x][i]]>=deep[y]) x=f[x][i];

    if(x==y)return x;

    for(int i=20;i>=0;i--)

        if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];

    return f[x][0];

}

int main()

{

    n=read();m=read();

    for(int i=1;i<n;i++)

    {

        x=read();y=read();

        add(x,y);add(y,x);

    }

    deep[1]=1;dfs(1,0);init();

    for(int i=1;i<=m;i++)

    {

        x=read();y=read();z=read();ans=2000000000;

        lca1=LCA(x,y);lca2=LCA(x,z);lca3=LCA(y,z);

        if(lca1==lca2) pos=lca3;

        else if(lca2==lca3) pos=lca1;

        else pos=lca2;

        printf("%d %d\n",pos,deep[x]+deep[y]+deep[z]-deep[lca1]-deep[lca2]-deep[lca3]);

    }

}