Dumb Bones UVA - 10529[多米诺重构]

Dumb Bones

UVA - 10529

 

来自绿书p176 

题意

你试图把一些多米诺骨牌排成直线，然后推倒它们。但是如果你在放骨牌的时候不小心把刚放的骨牌碰倒了，它就会把相临的一串骨牌全都碰倒，而你的工作也被部分的破坏了。

比如你已经把骨牌摆成了DD__DxDDD_D的形状，而想要在x这个位置再放一块骨牌。它可能会把左边的一块骨牌或右边的三块骨牌碰倒，而你将不得不重新摆放这些骨牌。

这种失误是无法避免的，但是你可以应用一种特殊的放骨牌方法来使骨牌更多的向一个方向

分析

首先应该明确怎样找到最佳的摆放策略。我们可以考虑在位置i放最后一块骨牌。显然，i前面的i-1块骨牌和i后面的n-i块骨牌是互不影响的。所以我们假设摆放i-1块骨牌需要的次数平均是（或说期望是）E₁，摆放n-i块骨牌需要的次数平均是E₂。那么我们摆放了这两段之后，就要把最后一块放上。这时如果把左边的碰倒了，就只好重新摆放。右边的也是同样的道理。所以需要摆放的平均值(E)是：

E = E₁ + E_2­ +

这个式子的推导并不困难，方法之一就是应用方程的思想（参见后面介绍的概率—期望系统）。

既然得到了这个式子，我们就可以通过动态规划来得到最优的摆放方案。设E_i是摆放i块骨牌所需要的最少期望次数，那么状态转移方程是：

E_i ­= min{E_k + E_i-1-k­ + } (0≤k≤i-1)

这样就得到了一个O(n²)的算法。根据题目中的数据规模，最大的运算量是100*1000² = 10⁸，虽然可以忍受，但是还是比较慢的，如果数据稍大一点就容易超时。

这就需要我们对动态规划进行优化。

这是一个1D/1D的动态规划，我们自然希望得到O(n)的算法，而这种优化一般都是通过动态规划的方程性质得到的。

观察动态规划的方程，我们可以发现，当k从0变化到i-1时第一项是不断增大的，第二项是不断减小的，第三项则是一个常数。因此整个函数一定是单峰的，这样就可以通过二分的方法进行优化，复杂度已经降到了O(nlogn)。而事实上，E这个数列不但是单增的，而且是凹的（如果PlPr=0就不凹也不凸，但是这不影响这里的讨论），通过这个性质我们还可以证明决策使用的k一定是不减的（证明很简单，略去）。这样通过记录上一次决策使用的k，就得到了一个（均摊的）O(n)的算法。

Select Code

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
double pl,pr,f[N];
int n;
double get(int i,int k){
	return ((1-pr)*f[k]+(1-pl)*f[i-k-1]+1)/(1-pl-pr);
}
int main(){
	for(scanf("%d",&n);n;scanf("%d",&n)){
		scanf("%lf%lf",&pl,&pr);
		for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
			for(;j<i-1&&get(i,j+1)<get(i,j);j++);
			f[i]=get(i,j);
		}
		printf("%.2lf\n",f[n]);
	}
	return 0;
}